La notion de matrice de passage est un concept fondamental en algèbre linéaire. Elle est étroitement liée aux changements de base, aux endomorphismes et à leurs matrices. La matrice de passage sert à transformer les coordonnées d’un vecteur d’une base à une autre. Elle est utilisée pour faciliter les calculs et les transformations lorsque tu travailles avec différentes bases d’un même espace vectoriel. C’est un outil particulièrement important à maîtriser et qui peut présenter plusieurs difficultés. Il est donc important de faire preuve de rigueur et de connaître les différentes notions que je vais te présenter.
Les matrices de passage
Soit \( E \) un espace vectoriel de dimension \( n \in \mathbb{N}, \) muni des bases \( B = (e_1, …, e_n) \; \text{et} \; B^{\prime}=(e_1^{\prime}, …, e_n^{\prime}) \). On appelle matrice de passage de \(B \; \text{à} \; B^{\prime}\) , la matrice \( M \in M_{n} (\mathbb{R}) \) telle que la j-ème colonne est formée des coordonnées du vecteur \(e_j^{\prime}\) dans la base \(B.\)
Ainsi, si \( \forall i \in [\![1,n]\!], e_i^{\prime}=\displaystyle \sum_{k=1}^n \alpha_{k,i} e_k, \) alors \( M=(\alpha_{i,j})_{(i,j) \in [\![1,n]\!]} \)
Exemples de matrices de passage
Travaillons dans l’espace vectoriel \( \mathbb{R}_1[X] \) et considérons deux de ses bases, la base canonique de \( \mathbb{R}_1[X] \; B_1=(1,X) \; \text{et la base} \; B_2=(2+4X, 3+5X). \)
Nous pouvons en déduire que la matrice de passage de la base \( B_1 \) à la base \( B_2 \) est la matrice \(M = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5\end{pmatrix}. \)
Considérons maintenant la base \(B_3=(1+X, 2+4X)\) et déterminons la matrice de passage de la base \( B_3 \) à la base \( B_2. \)
Nous avons que \( 2+4X= 2 \times (1+X) \; \text{et que} \; 3+5X= 1 \times (1+X) + 1 \times (2+4X). \)
Donc, la matrice de passage cherchée est la matrice \(M= \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}. \)
Propriétés des matrices de passage
Changement de coordonnées pour un vecteur
Soient \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n \in \mathbb{N}, B \; \text{et} \; B^{\prime}\) deux bases de \(E\).
Soit \(u\) un vecteur de \(E\), \(U \; \text{et} \; U^{\prime} \) leur matrice dans les bases \(B \; \text{et} \; B^{\prime}. \)
Considérons également la matrice de passage de la base \(B\) à la base \(B^{\prime}\) qui se note \(P_B^{B^{\prime}}. \)
Nous avons l’égalité suivante : \( \fbox{\( U = P_B^{B^{\prime}} U^{\prime} \)}\)
Multiplication de matrices de passage
Soient \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n \in \mathbb{N} \), \(B, B^{\prime} \; \text{et} \; B^{\prime\prime} \) trois bases de \(E\).
Alors, \( \fbox{\( P_B^{B^{\prime\prime}} = P_B^{B^{\prime}}P_{B^{\prime}}^{B^{\prime\prime}}\)} \)
Inversibilité d’une matrice de passage
D’après la propriété de multiplication de matrices de passage, nous pouvons affirmer que \( P_B^B = P_B^{B^{\prime}}P_{B^{\prime}}^B.\) Or, la matrice \( P_B^B\) est la matrice de passage d’une base vers elle-même. Donc, \( P_B^B = I_n \; \text{et} \; P_B^{B^{\prime}}P_{B^{\prime}}^B=I_n \).
Donc, toute matrice de passage est inversible et \((P_B^{B^{\prime}})^{-1}=P_{B^{\prime}}^B. \)
Les liens entre matrice de passage et matrice d’application linéaire
La matrice de passage comme matrice d’application linéaire
Toute matrice de passage peut s’exprimer comme la matrice d’une certaine application linéaire : l’identité. En effet, en reprenant les notations précédemment adoptées, nous avons \(P_{B}^{B^{\prime}}=Mat_{B^{\prime}B}(Id_E). \)
Attention : dans la notation avec le \(P\), on note \(B \; \text{et} \; B^{\prime} \) dans le sens inverse que celui qu’on utilise avec la notation \(Mat_{BB^{\prime}}.\)
Théorème : matrices de passage et applications linéaires
Les matrices de passage sont essentielles dans la formule qui te permet d’obtenir la matrice d’une application linéaire dans une certaine base à partir de la matrice de cette même application linéaire dans une autre base.
Soient \( E \) un espace vectoriel de dimension \(n \in \mathbb{N}, B \; \text{et} \; B^{\prime} \) deux de ses bases. Considérons également \( f \) un endomorphisme de \(E.\)
Alors, \( \fbox{\( Mat_{B^{\prime}}(f)=P_{B^{\prime}}^BMat_B(f)P_B^{B^{\prime}} \)} \)
Conclusion
En somme, la notion de matrice de passage se révèle être un pilier fondamental de l’algèbre linéaire, offrant des outils essentiels pour la manipulation des vecteurs et des espaces vectoriels. Les matrices de passage permettent effectivement de passer d’une base à une autre, facilitant ainsi les calculs et les transformations au sein d’un espace vectoriel.
Pour t’entraîner sur cette notion, tu peux regarder ces sujets mathématiques approfondies :
Tu peux retrouver ici toutes nos autres ressources mathématiques !
