Découvre cette année la première analyse de la nouvelle édition des maths approfondies ECRICOME 2025 !
Tu peux retrouver le sujet de maths approfondies ECRICOME 2025. Le lien pour se préparer à l’épreuve est ici.
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Analyse du sujet de maths approfondies ECRICOME 2025
Le concours ECRICOME vient de nous demander, pour la première fois, d’attendre 18h pour publier les sujets. Nous attendons plus de détails sur ces nouvelles consignes dans l’immédiat.
Exercice 1 : Problème de Bâle (\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}\))
On commence en douceur avec les questions 1 a) , b) et c) qui traitent de convergence de séries (penser au critère d’équivalence pour les séries de Riemann par exemple). La question 2 laisse place à un simple calcul de sommes, attention à faire cela avec des sommes finis et de passer à la limite ensuite. La question 3.a demande de mobiliser ses connaissances des formules classiques de trigonométrie (il était possible de développer \(cos(\alpha + \beta)\) et \(cos(\alpha – \beta)\) Pour la 3.b, la question annonçait une récurrence : attention à bien penser à réutiliser la 3.a pour l’hérédité. Pour la question 4.b, on pouvait appliquer un critère de comparaison d’intégrales en utilisant la question précédente pour majorer. Pour la question suivante, le sujet proposait de procéder par intégration par parties, pour savoir que poser en \(u(x)\) et \(v'(x)\), il fallait se reporter au résultat de la question précédente.
Concernant la question 5.a, on vérifie que la fonction est de classe \(C^1\) puis on la dérive comme composée de fonctions. Pour la question suivante, on pouvait utiliser un équivalent de \(\displaystyle sin(\frac{x}{2})\) pour conclure sur la limite puis appliquer un théorème de prolongement par continuité en réutilisant en partie la question 5.a. \(f\) se prolonge par continuité en \(\pi\) si la fonction étudiée en 5.a se prolonge en 0 (or c’est exactement ce que l’on a montré avant). Pour la 6.a, on peut convoquer la parité de la fonction intégrée. La 6.b … Pour la 6.c, il fallait penser à revenir à la question 3.b et effectuer une somme télescopique (question pas simple non plus). Pour conclure cet exercice, on reprenait la question 2 pour en déduire les valeurs de \(A\) et de \(B\). On a donc démontré la valeur de \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\) !
Exercice 2
Partie I
1.a : on a une famille de 10 matrices dans un espace de dimension 9. La question 1.b découle directement de la définition d’une famille liée comme existence d’une combinaison linéaire tel que \(\displaystyle \sum a_i M^i = 0_3\). La 2.a annonce le début du Python dans le sujet, il fallait réussir à calculer en Python les puissances d’une matrice. Pour la question 2.b, on pouvait procéder par un système par identification des coefficients. La question suivante était un application directe de la définition de polynôme annulateur en lien avec les valeurs propres de la matrice. Pour la 3.a, on étudiait les variations de la fonction donnée dans l’énoncé de la q.2 pour en déduire qu’elle ne s’annule qu’une semaine fois à une abcisse \(x >4\). 3.b : on peut raisonner par l’absurde en supposant que la matrice est diagonalisable puisque l’on a montré à la question précédente que \(M\) admettait une unique valeur propre.
Partie II
Pour la q4 : calcul de la transposée de \(S\) pour montrer qu’elle est égale à \(S\). S’agissant de la q5 : Partir d’un vecteur \(x\) de \(\mathbb{R}^3\) et aboutir à \(\| M^T x \|^2\) qui est nécessairement positif. Pour la question 6 : Cela découle directement des résultats des questions 4 et 5 par application du cours (théorème spectral). q7 : a) Il en existe 8 matrices vérifiant cela. b) \(\Delta\) est inversible car diagonale sans \(0\) sur sa diagonale. q8 : utiliser la question 6 pour isoler la matrice \(D\) et conclure avec la question 7.a. Pour la question 9, il faut également partir des questions précédentes. q10 : on calcule \(U^{-1}\) en réutilisant les résultats des questions précédentes (notamment la question 9).
Partie III
q11 : Exactement le résultat de la question 5 ! Concernant la question 12 : calcul direct en manipulant les expressions des différentes matrices mentionnées en haut de la partie III. q13 : cela découle du premier résultat de la question précédente en multipliant par \(T\) des deux cotés l’inégalité obtenue. Pour la question 14 : on réalisait une multiplication matricielle en a) puis les questions b), c) et d) traitaient de valeur propres et de sous-espace propre associés. Il fallait à chaque fois pour ces questions utiliser les résultats précédents. Les trois dernières questions traitaient de calculs matriciels directs assez redondants pour conclure l’exercice sur le fait que \(V=U\)
Problème : loi gamma et fonction bêta
Partie I : fonction Bêta
1.a Il s’agit de \(\displaystyle t^{x-1}\).b) Reprendre la question précédente pour faire un théorème d’équivalence avec une intégrale de Riemann et le critère de convergence associé. c) : Changement de variable classique, rien à signaler. d) Joindre les résultats de la question b et c.
q2 : il fallait penser au changement de variable affine \(u = 1-t\)
q3 : calcul intégrale direct en reconnaissant une intégrale de Riemann dont le résultat est bien connu
q4 : a) Calcul direct en sommant les deux intégrales pour retrouver par addition la fonction bêta. Pour la b), une intégration par partie avec les termes bien choisis. Pour la c), il fallait revenir aux questions a) et b)
q5 : Une magnifique récurrence pour cette question qui conclut la première partie sur cette fonction Bêta.
Partie II : fonction gamma et lois divers
q6 : a) Une récurrence ultra-classique était possible ici. On pouvait procéder autrement éventuellement ! Pour la b), il fallait utiliser le changement de variable après l’avoir justifié.
q7 : a) utiliser la convergence de l’intégrale gamma. b) Question classique de cours en reprenant chacun des critères nécessaires pour démontrer que \(\displaystyle f_{a,b}\) est bien une densité de probabilité.
q8 : a) On reconnait une loi gamma et on en déduit l’espérance et la variance d’après le cours. b) On reconnait une loi exponentielle dont on déduit l’espérance et la variance après avoir rapidement démontré leur existence (pour la variance seulement)
q9 : a) Il convient ici d’appliquer une transformation linéaire de variable à densité pour calculer son espérance et sa variance dans la b) (à partir des définitions simples de l’espérance et de la variance, cf Koenig-Huygens).
q10 a) Question longue car il fallait ici penser au produit de convolution après avoir justifié l’existence d’une telle densité. la b) découle de l’identification de la loi que l’on vient d’obtenir. pour la question c), on reprend le résultat de la b) et de la question 6.b où l’on a calculé \(\displaystyle \Gamma(\frac{1}{2})\).
Partie III : Transformée de loi uniforme
11. a) On calcule une espérance de manière classique et l’on retrouve une fonction bêta que l’on a calculé en partie I ! b) on simule désormais une loi transformée de loi uniforme classique à l’aide de la fonction rd.random(). c) Simple utilisation d’une propriété de convergence en probabilité car l’espérance est égale à la variable certaine \(\displaystyle \beta (x,y)\) d’après les questions précédentes et que la variance des lois sommés existe (admis par l’énoncé). d) Simulation d’une somme de loi en Python avec l’instruction “for k in range” par exemple. e) On illustre la convergence vers \(\pi\) donc le résultat 10.c
12 : mobilisation de la loi faible des grands nombres et la méthode de Monte-Carlo : a) calcul classique d’espérance et de variance. b) Ne pas oublier de montrer que c’est un estimateur !! c) Méthode d’inversion qui est ici appliquée dans le script . d) Faire le lien avec la question a) pour compléter la fin du script et terminer le sujet.
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