Les endomorphismes orthogonaux, bien que parfois présents aux concours, ne sont pas au programme de mathématiques en prépa ECG. Maîtriser ce thème te permettra cependant de gagner en efficacité s’il tombe au concours et te donnera des idées pour de nombreux exercices d’algèbre bilinéaire (endomorphismes antisymétriques, normaux, adjoints, etc.).
Définition mathématique d’un endomorphisme orthogonal
Soit \(E\) un espace euclidien et \(u\) un endomorphisme de \(E\). On dit que \(u\) est un endomorphisme orthogonal si : \(\forall(x,y) \in E^2, \langle u(x),u(y)\rangle=\langle x,y\rangle \).
La notion d’endomorphisme orthogonal expliquée en français
Un endomorphisme \(u\) est dit orthogonal s’il conserve le produit scalaire.
Un exemple concret d’endomorphisme orthogonal
Soit \(E\) un espace euclidien, en notant \(id_E\) l’endomorphisme identité, \(id_E\) est un endomorphisme orthogonal. En effet, par définition de l’identité, on a :
\(\forall x \in E, id_E(x)=x\)
On en déduit donc que \(\forall(x,y) \in E^2, \langle id_E(x),id_E(y)\rangle=\langle x,y\rangle \).
Quelques propriétés sur les endomorphismes orthogonaux
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\), et \(u\) un endomorphisme orthogonal de \(E\).
\(u\) est une isométrie, c’est-à-dire qu’il conserve la norme
En effet :
\(\begin{align} \forall x \in E, \|u(x)\|&=\langle u(x),u(x)\rangle \\
&=\langle x,x\rangle \quad \text{car \(u\) est un endomorphisme orthogonal} \\
&=\|x\|
\end{align}
\)
Toute matrice représentative de \(u\) dans une base orthonormale est orthogonale
Soit \(\mathcal{B}=(e_1,…,e_n)\) une base orthonormale de \(E\).
Lemme : si \(\mathcal{B}=(e_1,…,e_n)\) est une base de \(E\), en notant \(A=(a_{i,j})_{\underset{1 \le j \le n}{1 \le i \le n}}\) la matrice représentative de \(u\) dans la base \(\mathcal{B}\), on a : \(\forall (i,j)\in [\![1,n]\!]^2, a_{i,j}=\langle u(e_j),e_i\rangle\).
En effet, par définition de la matrice représentative d’un endomorphisme, on sait que si \(i\) est un entier de \([\![1,n]\!]\), alors \(\displaystyle u(e_i)=\sum_{k=1}^n a_{ki}e_k\).
Donc, pour tout \(i\) et \(j\) dans\([\![1,n]\!]^2\), on a
\(\begin{align} \langle u(e_j),e_i\rangle&=\langle \sum_{k=1}^n a_{kj}e_k,e_i \rangle \\
&= \sum_{k=1}^n a_{kj} \langle e_k,e_i \rangle \quad \text{par linéarité de \(u\)} \\
&= a_{ij} \quad \text{car la base} \:\:\mathcal{B} \:\: \text{est orthonormale}
\end{align}
\)
On notera que ce lemme ainsi que sa démonstration sont hors programme, mais tombent très fréquemment au concours. Il peut donc être très utile de les connaître.
Maintenant, montrons que \(A\) est orthogonale, soit donc que \({}^tAA=I\).
Notation : si \(M=(m_{i,j})_{\underset{1 \le j \le n}{1 \le i \le n}}\) est une matrice de \(\mathscr{M}_n(\mathbb{R})\), pour tout \(i\) et \(j\) dans\([\![1,n]\!]^2\), on note \([M]_{ij}\) le réel \(m_{ij}\).
\(\begin{align} \forall (i,j)\in [\![1,n]\!]^2, [{}^tAA]_{ij}&=\sum_{k=1}^n {}^t[A]_{ik}[A]_{kj} \\
&= \sum_{k=1}^n [A]_{ki}[A]_{kj} \\
&= \sum_{k=1}^n \langle u(e_k),e_i\rangle \langle u(e_k),e_j\rangle \quad \text{selon le lemme} \\
&= \sum_{k=1}^n \langle e_k,e_i\rangle \langle e_k,e_j\rangle \quad \text{car \(u\) est orthogonal} \\
&= \begin{cases} 1
&\text{si} \; i=j
\\ 0 &\text{sinon} \:\: \:\: \:\: \:\: \text{car \(\mathcal{B}\) est orthonormale}
\end{cases} \\
&= I
\end{align}
\)
D’où le résultat.
L’image par \(u\) de toute base orthonormée de \(E\) est une base orthonormée de \(E\)
Soit \(\mathcal{B}=(e_1,…,e_n)\) une base orthonormale de \(E\).
\(\begin{align} \forall (i,j)\in [\![1,n]\!]^2, \langle u(e_i),e_j\rangle&= \frac{1}{2} \left[\|u(e_i)+u_(e_j)\|^2 – \|u(e_i)\|^2 – \|u(e_j)\|^2 \right]\\ \qquad \qquad \text{selon l’identité de polarisation} \\
&= \frac{1}{2} \left[\|u(e_i+e_j)\|^2 – \|u(e_i)\|^2 – \|u(e_j)\|^2 \right]\quad \\ \qquad \qquad \text{par linéarité de \(u\)} \\
&= \frac{1}{2} \left[\|e_i+e_j\|^2 – \|e_i\|^2 – \|e_j\|^2\right] \quad \\ \qquad \qquad \text{car \(u\) est une isométrie} \\
&= \langle e_i,e_j\rangle \quad \\ \qquad \qquad\text{selon l’identité de polarisation}
\end{align}
\).
Enfin, comme \(\mathcal{B}\) est orthonormale, on a \(\langle u(e_i),e_j\rangle =\langle e_i,e_j\rangle = \begin{cases} 1 \; \text{si} \; i=j
\\ 0 \; \text{sinon}
\end{cases} \)
Alors, la famille \((u(e_1),…,u(e_n))\) est une famille orthonormée de vecteurs de \(E\), donc la famille considérée est libre. De plus, \(dim(E)=n\), et \((u(e_1),…,u(e_n))\) contient \(n\) vecteurs, donc c’est une base orthonormale de \(E\).
\(u\) est bijectif
Prenons un vecteur \(x\) dans \(Ker(u)\), on a alors : \(\forall y \in E, \langle u(x),u(y)\rangle =0\)
De plus, on sait que \(\forall y \in E, \langle u(x),u(y)\rangle =\langle x,y\rangle\) car \(u\) est orthogonal.
Donc, \(\forall y \in E, \langle x,y\rangle =0\)
Donc, \(x\in E^{\perp}\) et comme \(E^{\perp}=\{0\}\), on a alors \(x=0\).
Finalement, \(Ker(u) \subset \{0\}\)
On sait que \(Ker(u)\) est un espace vectoriel, on en déduit donc que \(\{0\} \subset (Ker(u)\).
Ainsi, par double inclusion, \(Ker(u) =\{0\}\).
Donc \(u\) est injectif.
Or, \(u\) est un endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension finie, ce qui nous permet d’affirmer que \(u\) est injectif, et ainsi bijectif.
Les valeurs propres réelles éventuelles de \(u\) sont 1 et −1
Soit \(\lambda \in \mathbb{R}\) une valeur propre de \(u\), et \(x\in E\) un vecteur propre de \(u\) associé à la valeur propre \(\lambda\).
Par définition, on a \(u(x)=\lambda x\)
Donc, par homogénéité de la norme, on a \(\|u(x)\|= |\lambda|\|x\|\).
De plus, on a montré précédemment que \(u\) est une isométrie (c’est-à-dire qu’il conserve la norme), donc on en déduit que \(\|u(x)\|=\|x\|\).
Finalement, \(|\lambda|\|x\|=\|x\|\).
On sait que \(x\ne 0\) (car \(x\) est un vecteur propre), donc en divisant la relation précédente par \(x\), on obtient : \(|\lambda|=1\).
Cela veut donc dire que \(\lambda \in \{0,1\}\).
Ainsi, \(Sp(u) \subset \{-1,1\}\).
Voilà, tu sais tout sur les endomorphismes orthogonaux. On te conseille vivement de consulter nos ressources en mathématiques !
