Hello, dans cet article, je souhaitais revoir avec toi tout ce que tu dois savoir sur les équivalents et petits o. Mais au-delà des listes classiques, nous allons voir comment démontrer deux propriétés, avec \(a\) et \(b\) deux fonctions de classe \(C^0\) sur un même intervalle \(I\) telles que \(\displaystyle \int_{x}^{+\infty} a(t) \, \mathrm{d}t\) et \(\displaystyle \int_{x}^{+\infty} b(t) \, \mathrm{d}t\) convergent et \(b\) positive :
- Si \(a(t)\underset{+\infty}{=}o(b(t))\), alors \(\displaystyle \int_{x}^{+
\infty} a(t) \, \mathrm{d}t \underset{x \to +\infty}{=}o(\displaystyle \int_{x}^{+
\infty} b(t) \, \mathrm{d}t)\) - Si \(a(t) \underset{t\to +\infty} {\sim} b(t)\), alors \(\displaystyle \int_{x}^{+
\infty} a(t) \, \mathrm{d}t \underset{x \to +\infty}{\sim}o(\displaystyle \int_{x}^{+
\infty} b(t) \, \mathrm{d}t)\) .
Prêt·e ? Commençons par quelques rappels.
Définition et propriétés sur la négligeabilité
- On dit que \(a\) est négligeable devant \(b\) au voisinage de \(x_0\) si \(\forall x \in I, b(x) \ne 0\) et \(\lim \limits_{x \to x_0} \frac{a(x)}{b(x)} =0\).
- On peut aussi dire que pour tout \(\epsilon > 0\), à partir d’un certain \(x_0\), \(\forall x \ge x_0,|a(x)| \le b(x) \times \epsilon\) avec \(\epsilon>0\). Cette propriété est tout aussi importante que la première, ne l’oublie pas.
Définition et propriétés sur les équivalences
- On dit que \(a\) est équivalente à \(b\) au voisinage de \(x_0\) si \(\forall x \in I, b(x) \ne 0\) et \(\lim \limits_{x \to x_0} \frac{a(x)}{b(x)} =1\).
- Pour faire le lien avec la négligeabilité, on dit que \(a \underset{x \to x_0}{\sim} b\) si et seulement si \(a\underset{x \to x_0}{=}b+o(b)\)
Attention, l’équivalence n’est pas une relation sommable ! Écrire « \(a\underset{x \to x_0}{\sim} a’\) et \(b\underset{x \to x_0}{\sim} b’\) donc \(a_n + b_n \underset{x \to x_0}{\sim} a’ + b’\) » te ferait perdre de précieux points.
Liste d’équivalents usuels
Tous ces équivalents sont à connaître par cœur :
\(\begin{array}{lll}
\sin x\underset{0}{\sim} x&\quad&\ln(1+x)\underset{0}{\sim} x\\
1-\cos x\underset{0}{\sim} \frac{x^2}2&\quad&e^x-1\underset{0}{\sim} x\\
(1+x)^\alpha-1\underset{0}{\sim}\alpha x
\end{array}\)
Hors programme : les liens avec les intégrales
Maintenant que ces rappels sont faits, nous pouvons enfin passer à la partie intéressante. Si le lien entre intégrandes et intégrales paraît assez intuitif, il ne s’agit pas d’une propriété de ton cours. Tu dois donc être capable de le démontrer.
Relation de négligeabilité
On pose \(a\) et \(b\) deux fonctions de classe \(C^0\) sur un même intervalle \(I\) telles que\(\displaystyle \int_{x}^{+\infty} a(t) \, \mathrm{d}t\) et \(\displaystyle \int_{x}^{+\infty} b(t) \, \mathrm{d}t\) convergent et \(b\) positive.
Notre objectif est de montrer que si \(a(t)\underset{+\infty}{=}o(b(t))\), alors \(\displaystyle \int_{x}^{+
\infty} a(t) \, \mathrm{d}t \underset{x \to +\infty}{=}o(\displaystyle \int_{x}^{+\infty} b(t) \, \mathrm{d}t)\)
Ramenons-nous à la définition. Soit \(\epsilon >0\). Il existe un \(x_0\) dans \(I\) tel que \(\forall t \ge x_0, | a(t)| \le b(t)\times\epsilon\)
Donc, après calculs et d’après l’inégalité triangulaire : \(\forall x\ge x_0\), \(\left| \displaystyle \int_{x}^{+\infty} a(t) \, \mathrm{d}t \right|\) \(\le\) \(\displaystyle \int_{x}^{+\infty} |a(t)| \, \mathrm{d}t\) \(\le \epsilon\) \(\displaystyle \int_{x}^{+\infty} b(t) \, \mathrm{d}t\)
On retombe donc sur la formule donnée dans la propriété, ce qui permet de conclure que \(\displaystyle \int_{x}^{+\infty} a(t) \, \mathrm{d}t \underset{x \to +\infty}{=}o(\displaystyle \int_{x}^{+\infty} b(t) \, \mathrm{d}t)\)
Relation d’équivalence
On suppose maintenant que \(a(t) \underset{+\infty}{\sim} b(t)\)
On a \(a(t)-b(t)=o(b(t))\). Donc, d’après la démonstration précédente, \(\displaystyle \int_{x}^{+\infty} (a(t)-b(t)) \, \mathrm{d}t \underset{x \to +\infty}{=}o(\displaystyle \int_{x}^{+\infty} b(t) \, \mathrm{d}t)\)
Donc, par linéarité (les intégrales étant convergentes selon les hypothèses),
\(\displaystyle \int_{x}^{+\infty} a(t)\, \mathrm{d}t – \displaystyle \int_{x}^{+\infty} b(t)\, \mathrm{d}t \underset{x \to +\infty}{=}o(\displaystyle \int_{x}^{+\infty} b(t) \, \mathrm{d}t)\)
On retrouve une expression semblable à celle de la propriété d’équivalence. On peut donc conclure que \(\displaystyle \int_{x}^{+\infty} a(t) \, \mathrm{d}t \underset{x \to +\infty}{\sim}o(\displaystyle \int_{x}^{+
\infty} b(t) \, \mathrm{d}t)\)
Et voilà ! Retiens bien ces démonstrations et entraîne-toi à les refaire. Elles peuvent t’être bien utiles. Tu peux t’exercer en cherchant aussi les démonstrations analogues avec les séries.
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