Tu en as marre de te perdre dans toutes les formules de trigo, sans jamais réussir à t’en souvenir ? Si c’est le cas, cet article est fait pour toi et t’apprendra tout sur les formules de trigonométrie ! Dedans, tu y trouveras les principales formules de trigo à connaître (formules d’addition, de duplication et de linéarisation), accompagnées d’astuces pour les retenir, le tout sous une forme de fiche synthétique. Ces formules sont énoncées par ordre d’importance.
Tu peux également consulter l’ensemble des démonstrations des formules de trigo.
Soit \((a,b) \in \mathbb{R}^2\)
L’utilité des formules de trigo
Certes, la trigonométrie n’est pas une part importante du programme d’ECG. Néanmoins, on retrouve chaque année des questions de trigo aux concours (à l’écrit comme à l’oral), et ces questions sont très discriminantes. C’est pourquoi bien mémoriser et utiliser parfaitement ces formules de trigo est un vrai bonus !
Les formules d’addition : un must know de la trigonométrie
Ces formules sont centrales en trigonométrie : il faut donc les connaître.
On a :
\[ cos(a+b) = cos(a)cos(b) – sin(a)sin(b) \\
cos(a-b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)\\
sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)\\
sin(a-b) = sin(a)cos(b) – cos(a)sin(b)\]
Astuce :
– le cosinus est méchant : il change les signes (confusion) et est contre la mixité (il sépare les cosinus des sinus) ;
– le sinus est gentil : il garde les mêmes signes et est pour la mixité.
À noter : si cette astuce t’embrouille, tu peux toujours en trouver une autre ou demander autour de toi (chacun a un moyen mnémotechnique qui lui convient).
Les formules de duplication : à absolument savoir en trigo
Ces formules découlent directement des formules de trigo précédentes, dites d’addition (tu remplaces seulement \(b\) par \(a\) dans la première et la troisième formule).
\[ \begin{align}cos(2a) &= cos^2a – sin^2a \\ &= 2cos^2a – 1 \\ &=1-2sin^2a \end{align}\]
\[ sin(2a) = 2sin(a)cos(a) \]
Ne pas oublier : \(cos^2a+sin^2a=1\)
Les formules de linéarisation : résultats des autres formules de trigo
Ces formules sont moins utilisées, mais elles restent utiles pour résoudre certaines questions (notamment pour calculer une intégrale). Il te faut donc les connaître !
\[ cos(a)cos(b) = \frac{1}{2}*(cos(a+b) + cos(a-b)) \\
sin(a)sin(b) = \ – \frac{1}{2}*(cos(a+b) – cos(a-b)) \\
sin(a)cos(b) = \frac{1}{2}*(sin(a+b) + sin(a-b)) \\
cos(a)sin(b) = \frac{1}{2}*(sin(a+b) – sin(a-b))\]
À noter : ces formules découlent de l’addition (ou de la différence) de deux formules trigo d’addition consécutives (formules 1-2 ou 3-4). Il est important de savoir d’où elles proviennent pour savoir les retrouver et les vérifier.
Les formules de trigonométrie expliquées dans une vidéo très complète
Si des paroles sont mieux que des mots pour ta compréhension de la trigonométrie, on t’invite à aller voir cette merveilleuse vidéo explicative de Ambroise réalisée sur notre chaîne youtube, il détaille vraiment tout sur tout de la trigonométrie dans les moindres détails…
Les sujets en rapport avec les formules de trigonométrie
Avec ça tu pourras performer au concours sur les formules de trigo. Je te conseille de faire aussi des annales à fond :
Et il y a encore bien d’autres annales traitant de ces formules de trigo.
Aller plus loin
Les fonctions de trigonométries peuvent être approfondies sous différentes formes. En effet, les fonctions sinus et cosinus ont donné lieu à de nombreuses notions hors programme (qui se trouvent régulièrement dans les sujets). Parmi elles, tu peux retrouver : voici un tableau récapitulatif de toutes nos ressources de trigonométrie sur Major Prépa, que ce soit aussi bien en termes de notions de cours comme de notions hors programme :
| Contenu de trigonométrie au programme et hors programme ECG | |
| Trigo au programme | Trigo hors programme |
| Tout sur les fonctions de trigonométrie cos et sin | Les fonctions de trigonométrie cosh et sinh (cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique) |
| Fiche récapitulative des formules de trigo | Trigonométrie et nombres complexes |
| Démonstrations des formules trigonométriques | La loi arcsinus standard et à support borné |
| Zoom sur la fonction Arctangente (Arctan et toutes ses méthodes associées) | Les intégrales de Wallis |
| Vidéo explicative de la trigonométrie | L’intégrale de Dirichelet |
| La trigonométrie (du point de vue du lycée, trigo troisième, trigonométrie en seconde…) | Transformée de Fourier (mais il y a des nombres complexes…) |
| Tout comprendre sur le cercle trigonométrique | |
Voilà, cet article est fini ! J’espère qu’il t’a permis de trouver tes points faibles en trigonométrie, pour pouvoir ensuite les améliorer. N’oublie pas qu’une question de trigo réussie peut faire la différence !
N’hésite pas à consulter nos autres ressources mathématiques !
