C’est un élément fondamental dans l’apprentissage de l’algèbre, mais on a souvent du mal à en comprendre l’utilité. Il est difficile de réussir à réaliser toutes les étapes proprement, surtout en première année. Pour t’aider, Major-Prépa t’a concocté un petit récapitulatif de tout ce que tu dois savoir pour maîtriser le calcul d’une matrice représentative d’endomorphisme linéaire.
Qu’est-ce qu’une matrice représentative d’endomorphisme ?
Comme son nom l’indique, la matrice \(M\) représentative d’un endomorphisme \(f\) est la matrice qui résume au sein de ses colonnes toutes les informations qui caractérisent cet endomorphisme. D’où l’idée qu’elle le « représente ».
Ainsi, chaque colonne de la matrice \(M\) correspond au vecteur donné par le calcul de l’endomorphisme \(f\) appliqué à un vecteur de la base de l’espace vectoriel dans lequel on se trouve. Le nombre de colonnes de la matrice \(M\) est donc égal à la dimension de l’espace dans lequel on se trouve. Tu feras donc bien attention à vérifier que tu te trouves en dimension finie.
Ainsi, plaçons-nous sur l’espace vectoriel \(E\) de dimension \(3\) avec le vecteur \(B = (e_1, e_2, e_3) \) comme base de \(E\). De plus, on calcule respectivement que :
\(f(e_1) = (e_{11}, e_{12}, e_{13}), f(e_2) = (e_{21}, e_{22}, e_{23})\) et \(f(e_3) = (e_{31}, e_{32}, e_{33})\)
Il nous reste alors à exprimer ces résultats en fonction des vecteurs de notre base. C’est-à-dire établir la combinaison linéaire qui permette d’écrire les vecteurs que nous venons de trouver sous la forme :
\(f(e_1) = (e_{11}, e_{12}, e_{13}) = \alpha e_1 + \lambda e_2 – \mu e_3 \)
\(f(e_2) = (e_{21}, e_{22}, e_{23}) = \epsilon e_1 – \gamma e_2 + \mu e_3 \) et
\(f(e_3) = (e_{31}, e_{32}, e_{33}) = \lambda e_1 + \zeta e_2 + \gamma e_3 \)
Alors, on trouve que \( M = \begin{pmatrix} \alpha & \epsilon & \lambda \\ \lambda & – \gamma & \zeta \\ – \mu & \mu & \gamma \end{pmatrix}\). Et on retrouve bien que la première colonne de la matrice \(M\) correspond au premier vecteur de la base \(B\) auquel on a appliqué l’endomorphisme \(f\) et que l’on a ensuite décomposé en une combinaison linéaire des vecteurs de \(B\), que sa deuxième colonne correspond à la même chose pour le deuxième vecteur de \(B\), etc.
Si ce n’est toujours pas très clair pour toi, pas de panique, c’est normal. Tu vas pouvoir suivre tout le détail des calculs et de la composition de ta matrice avec un exemple précis.
À quoi ça sert ?
Comme tu l’as déjà vu ou le verras plus tard dans ton cours de maths, un endomorphisme linéaire et sa matrice représentative partagent un très grand nombre de propriétés et sont liés par de nombreuses relations. Rangs et spectres identiques, endomorphisme bijectif si et seulement si sa matrice représentative est inversible, idem pour la diagonabilité, etc. Et c’est une liste clairement non exhaustive.
C’est pourquoi il est très précieux de savoir sur le bout des doigts comment calculer une matrice représentative d’endomorphisme linéaire. Car cela te simplifiera ensuite grandement la vie. Retiens donc bien les étapes qui suivent, c’est en réalité assez simple.
Prenons un exemple précis
Soit \(f\) l’endomorphisme de l’espace vectoriel \(E\) tel que pour tout vecteur \(u\) de \(E\), \(f(u) = (u_1 – u_2, u_1 + u_3, u_2 + u_3) \), et la famille de vecteurs \(B = ( (0,1,1), (1,1,0), (0,0,1))\) une base de \(E\). Notons que \(E\) est donc un espace vectoriel de dimension \(3\).
Première étape
Tout d’abord, calculons l’image des vecteurs de la base \(B\) par l’endomorphisme \(f\).
On a ainsi : \(f(0,1,1) = (0-1, 0+1, 1+1) = (-1, 1, 2) \)
\(f(1,1,0) = (1-1, 1+0, 1+0) = (0,1,1) \)
\(f(0,0,1) = (0-0, 0+1, 0+1) = (0,1,1) \)
Deuxième étape
À présent, il faut réussir à décomposer les vecteurs que nous venons tout juste de trouver en une combinaison linéaire des vecteurs de la base \(E\).
Or, on peut dès à présent remarquer que \(f(1,1,0) = f(0,0,1) = (0,1,1)\)
Ensuite, à nous de travailler au brouillon pour trouver la décomposition du vecteur \( (-1, 1, 2)\)
Or, il vient que : \( (-1, 1, 2) = – (1,1,0) + 2(0,1,1)\)
On a donc réussi à trouver l’ensemble des décompositions qu’il nous fallait.
Troisième étape
À présent, il ne nous reste plus qu’à résumer les informations que nous avons accumulées dans une matrice et nous aurons ainsi obtenu la matrice \(M\) représentative de notre endomorphisme \(f\).
Ainsi, nous trouvons, d’après les décompositions précédentes, que la première colonne de la matrice \(M\) correspondra au vecteur \((-1, 2, 0)\), le deuxième à \((1,0,0)\), tout comme le dernier.
On trouve donc que \(M = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0\end{pmatrix}\)
Le cas des bases canoniques
Maintenant que tu maîtrises sur le bout des doigts les étapes pour savoir comment calculer une matrice d’endomorphisme linéaire, pense à te simplifier la vie tant que tu peux. En effet, si on te demande de calculer une telle matrice dans la base canonique de l’espace dans lequel tu te trouves, pas besoin de faire autant de calculs.
En effet, dans ce cas-là, il te suffit simplement de calculer l’image de la base par ton endomorphisme \(f\), puis de reporter les vecteurs que tu auras ainsi obtenus dans les colonnes de ta matrice. Tu pourras ainsi gagner du temps et t’épargner les calculs de recherche de la combinaison linéaire, car tu te rendras vite compte qu’elle correspond aux vecteurs intacts eux-mêmes !
Si tu souhaites aller plus loin sur le sujet, je te conseille de jeter un coup d’œil aux articles suivants :
Toutes les méthodes pour diagonaliser une matrice
Toutes les méthodes pour montrer qu’une application linéaire est un isomorphisme
