Dans cet article, tu vas apprendre à déterminer les solutions d’équilibre dans le cadre de l’équilibre général dans une économie d’échange pur. Ce chapitre demande un petit temps d’assimilation en raison de ses nombreuses notations. Nous allons donc tout décortiquer pour t’aider à mieux l’appréhender.
Introduction
On dispose de deux consommateurs, A et B, suivant respectivement des fonctions d’utilité \(U_A\) et \(U_B\).
Avant l’échange, chaque consommateur a des dotations initiales. On les note : \(\overline{x_{1A}}, \overline{x_{2A}}, \overline{x_{1B}}, \overline{x_{2B}}\)
Avant l’échange, il faut noter la disponibilité totale de l’économie ou l’état réalisable de l’économie. \(x_1 = \overline{x_{1A}}, \overline{x_{2A}}$$ et $$x_2 = \overline{x_{1B}}, \overline{x_{2B}}\)
On procède à l’échange :
Calculer l’équilibre pour A : \(x_{1A}^{*}, x_{2A}^{*}\)
Calculer l’équilibre pour B : \(x_{1B}^{*}, x_{2B}^{*}\)
On résout le système suivant pour obtenir l’équilibre général : $$\left\{ \begin{array}{ccl} \overline{x_{1A}}, \overline{x_{2A}} &=& x_{1A}^{*}, x_{2A}^{*} \\ \overline{x_{1B}}, \overline{x_{2B}} &=& x_{1B}^{*}, x_{2B}^{*}\end{array} \right..$$
En s’appuyant sur la loi de Walras : Si le marché du bien 1 est équilibré, alors le marché du bien 2 est équilibré
\begin{array}{c} \frac{p_1}{p_2} = \ldots \end{array}
On obtient finalement $$x_{1A}^{*}, x_{2A}^{*},x_{1B}^{*}, x_{2B}^{*}$$ en fonction de \(p_1\) et \(p_2\).
Les états réalisables de l’économie
Les équations définissant les états réalisables de l’économie sont fournies par :
$$\left\{ \begin{array}{ccl} 10 &=& x_{1A}^{*} + x_{2A}^{*} \\ 15 &=& x_{1B}^{*} + x_{2B}^{*}\end{array} \right..$$
(10 et 15 ne sont que des exemples de quantités possibles.)
On dit que l’équilibre concurrentiel de cette économie est défini par un vecteur de prix \((p_1^{*}, p_2^{*})\) qui assure l’équilibre sur l’ensemble des marchés. En combinant les fonctions de demande calculées avec les équations définissant les états réalisables de l’économie, nous avons :
$$\left\{ \begin{array}{ccl} 10 &=& \text{on remplace } x_{1B} \text{ et } x_{2B} \\ 15 &=& \text{on remplace } x_{2A} \text{ et } x_{2B}\end{array} \right..$$
D’après le corollaire de la loi de Walras, les deux équations ne sont pas indépendantes. Par conséquent, le rapport de prix d’équilibre sera identique, quelle que soit l’équation utilisée. Prenons l’équation définissant l’équilibre sur le marché du bien 1 (ou 2). Celle-ci s’écrit :
on conserve \(x_{1A}$ et $x_{1B}= 10\)
Les théorèmes de l’économie du bien-être
Premier théorème
Selon le premier théorème de l’économie du bien-être, en l’absence de défaillances du marché, tout équilibre concurrentiel est un optimum de Pareto. Ce théorème est vérifié si l’allocation d’équilibre se situe sur la courbe des contrats, c’est-à-dire si $$ x_{2A}^* = f((x_{1A})^*)$$
En pratique, il faut étudier la courbe des contrats pour vérifier que le premier théorème de l’économie du bien-être est bien dans ton cas d’étude.
Rappel : la courbe des contrats est le lieu géométrique représentant l’ensemble des optima de Pareto.
Deuxième théorème
On suppose qu’un planificateur social a choisi l’un des optima de Pareto. S’il souhaite que l’allocation d’équilibre corresponde à la solution qu’il juge socialement préférable, il lui faut redistribuer les dotations initiales.
Cela s’apparente à la mise en place d’un impôt non distorsif. Comme l’indique le deuxième théorème de l’économie du bien-être, c’est-à-dire que tout optimum de Pareto peut être décentralisé, moyennant une redistribution adéquate des dotations initiales.
La frontière des utilités
Elle peut être définie comme le lieu géométrique des combinaisons de satisfaction qui peuvent être atteintes pour toutes les allocations optimales au sens de Pareto possibles. Cette courbe est représentée dans le repère \((U_A,U_B)\).
Méthode pour obtenir la frontière des utilités
Pour l’agent A, on intègre l’équation de la courbe des contrats dans la fonction d’utilité de l’agent A (1).
Pour l’agent B, on utilise les équations définissant les états réalisables de l’économie pour réécrire la courbe des contrats en fonction de \(x_1^B\) et \(x_2^B\). On intègre ce résultat à la fonction d’utilité de l’agent B (2).
Si l’on intègre les équations (1) et (2) dans l’équation décrivant les états réalisables de l’économie pour le bien 1, on obtient l’équation qui décrit la frontière des utilités dans le repère \(U_A,U_B\).
On étudie ensuite ses propriétés comme s’il s’agissait d’une courbe d’indifférence.
Et voilà, te voici prêt(e) à affronter les exercices sur l’équilibre général dans une situation d’échange pur et, surtout, entraîne-toi le plus possible avec des manuels recommandés dans cet article.
