Cette fiche, à destination des préparationnaires de prépas B/L ou D2 en particulier, allie cours et pratique. Elle te fournira tous les outils nécessaires pour réussir tes écrits de microéconomie sur le modèle du consommateur basique, que nous retrouvons dans la plupart des sujets.
Les préférences
Les courbes d’indifférence
Étudier les propriétés d’une ou des courbes d’indifférence se résume à chercher :
- la décroissance de la courbe d’indifférence ;
- la convexité de la courbe d’indifférence ;
- les limites de cette courbe d’indifférence.
Le TMS
Le taux marginal de substitution du bien \(2\) au bien \(1\) mesure la quantité de bien \(2\) à laquelle le consommateur est prêt à renoncer pour obtenir une quantité additionnelle de bien \(1\).
$$TMS = \frac{Um_1(x_1,x_2)}{Um_2(x_1,x_2)}$$
Il est toujours en valeur absolue.
Les différents types de biens
- Biens normaux : la consommation de chacun des biens augmente avec le revenu. On a une fonction d’utilité de la forme : $$U(x_1,x_2) = x_1^{\alpha} + x_2^{\beta}$$
- Biens complémentaires : les préférences du consommateur sont représentées par une fonction d’utilité de la forme : $$U(x_1,x_2)=\min(\alpha x_1,\beta x_2)\,$$ Les courbes d’indifférence sont « coudées ».
- Biens parfaitement substituables : la fonction d’utilité est de la forme : $$U(x_1,x_2)= \alpha x_1 + \beta x_2\,$$
Les conséquences des variations des prix et du revenu
On considère \(x_1\) et \(x_2\), deux biens dont on ne connaît pas la nature, \(p_1 \) et \(p_2\) leurs prix et \(R\) le revenu du consommateur.
Élasticité revenu
L’élasticité revenu du bien \(i\) mesure l’intensité de la variation de la demande lorsque le revenu varie de 1 %. Elle est égale à :
$$e_{{R}/_{x_i}}=\frac{\partial(x_i^*)}{\partial R}\cdot \frac{R}{x_i^*}\,.$$
- Si \(e_{{R}/_{x_i}} > 0\), alors les quantités demandées augmentent lorsque le revenu augmente. Le bien \(i\) est supérieur (ou bien normal).
- Si \(0 \leq e_{{R}/_{x_i}} < 1\), alors les quantités demandées augmentent moins rapidement que la hausse du revenu. Le bien \(i\) est un bien supérieur de première nécessité.
- Si \(e_{{R}/_{x_i}} > 1\), alors les quantités demandées augmentent plus rapidement que la hausse du revenu. Le bien \(i\) est un bien supérieur de luxe.
- Si \(e_{{R}/_{x_i}} < 0\), alors les quantités demandées diminuent avec la hausse du revenu. Le bien \(i\) est un bien inférieur.
Élasticité-prix
L’élasticité-prix de l’offre mesure les effets sur les quantités offertes d’un bien d’une variation de 1 % du prix de ce bien. Elle est obtenue par le calcul suivant (pour tous biens \(i\) et \(j\)) :
$$e_{{p_i}/_{x_i}}=\frac{\partial(x_i^*)}{\partial p_i}\cdot \frac{p_i}{x_i^*}\,.$$
Élasticité-prix croisé
L’élasticité-prix croisé du bien 1 mesure l’intensité de la variation de la demande de bien 1 quand le prix du bien 2 varie. Elle se calcule ainsi (pour tous biens \(i\) et \(j\)) : $$E_{pc} = \frac{\partial x_i}{\partial p_j} \times\frac{p_j}{x_i}$$
- Si \(e_{pc} < 0\), alors les quantités demandées de bien \(i\) diminuent quand le prix du bien \(j\) augmente. Les biens \(1\) et \(2\) sont complémentaires.
- Si \(e_{pc} = 0\), alors les quantités demandées de bien \(i\) sont constantes quand le prix du bien \(j\) varie. Les deux biens sont indépendants.
- Si \(e_{pc} > 0\), alors les quantités de bien \(i\) augmentent quand le prix du bien \(j\) augmente. Le bien \(i\) est un substitut du bien \(j\). Ils sont donc substituables.
Pour aller plus loin :
- Si \(e_{pc} < -1\), alors les biens sont étroitement complémentaires.
- Si \(e_{pc} > 1\), alors les biens sont étroitement substituables.
L’équilibre du consommateur
L’équilibre, c’est tout simplement là où l’offre et la demande se rencontrent. Dans la théorie du consommateur simple, pour déterminer l’équilibre de celui-ci, tu pourras te reporter à deux types de programme.
Le programme primal du consommateur
Le consommateur cherche à maximiser sa satisfaction sous la contrainte de son revenu, que l’on note : $$R = p_1x_1 + p_2x_2\,.$$
Le programme du consommateur s’écrit alors : (α >0, β >0)
$$\left\{ \begin{array}{c} \max U(x_1,x_2) = x_1^\alpha + x_2^\beta \\{\rm s.c}\\R=p_1x_1+p_2x_2 \end{array} \right..$$
On pose le lagrangien associé au programme.
Pour tout \(λ > 0\),
$$L(x_1,x_2,λ) = x_1^{\alpha}+ x_2^{\beta} + {λ}(R – p_1x_1 – p_2x_2)\,.$$
On considère que les conditions de second ordre sont vérifiées. Les conditions de premier ordre sont :
$$\left\{ \begin{array}{cccl} \frac{\partial \left(U(x_1,x_2) + \lambda (R – p_1x_1 – p_2x_2)\right)}{\partial p_1} &=& 0& (1) \\ \frac{\partial \left(U(x_1,x_2) + \lambda (R – p_1x_1 – p_2x_2)\right)}{\partial p_2} &=& 0 &(2) \\ \frac{\partial \left(U(x_1,x_2) + \lambda (R – p_1x_1 – p_2x_2)\right)}{\partial \lambda} &=& 0 &(3) \end{array} \right..$$
Étapes de résolution :
- En calculant (1) / (2), on reconnaît le TMS. En isolant \(x_2\), on obtient (4).
- En appliquant \(x_2\) (4) dans la contrainte budgétaire (3), on a \( x_1^*\).
- Finalement, on applique (4) dans la contrainte budgétaire et on obtient \(x_2^*\).
On appelle les solutions \(x_1^*\) et \(x_2^*\) les marshalliennes.
Le programme dual du consommateur
Le programme dual du consommateur consiste à déterminer le panier de biens qui minimise sa dépense sous la contrainte d’un niveau de satisfaction à atteindre :
$$\left\{ \begin{array}{ccl} \min R(x_1,x_2) = p_1x_1 + p_2x_2\\ {\rm s.c} \\ \bar{U} = x_1^\alpha + x_2^\beta \end{array} \right..$$
À l’aide du lagrangien, comme dans le programme primal du consommateur, on obtient finalement les solutions \(h_1^*\) et \(h_2^*\), appelées les demandes hicksiennes.
Les formules incontournables
Pour réussir tes écrits de microéconomie, il est primordial de pouvoir manipuler les notions qui vont suivre. Il faut être capable de basculer de l’une à l’autre. C’est grâce à ces formules que tu pourras facilement assurer des points aux écrits de l’ENS.
La fonction d’utilité indirecte
Elle indique l’utilité maximale que le consommateur peut atteindre pour des niveaux donnés de prix et de revenu. Nous pouvons la noter $$V(p_1,p_2,R) = U(x_1^*,x_2^*)$$ (où \(x_1^*\) et \(x_2^*\) sont les demandes marshalliennes).
La fonction de dépense
Elle correspond à la dépense minimale que le consommateur doit effectuer pour atteindre un niveau d’utilité donné lorsque les prix des biens sont \(p_1\)et \(p_2\). Il s’agit donc de la dépense effectuée par le consommateur pour acheter le panier de biens correspondant aux niveaux de demande hicksienne.
Elle s’écrit : $$E(p_1,p_2, \bar{U}) = p_1 \times h_1(p_1,p_2,\bar{U}) + p_2 \times h_2(p_1,p_2,\bar{U})$$
Souvent, dans les exercices, pour trouver la fonction de dépense, il s’agit d’isoler \(R\) dans la fonction d’utilité indirecte de l’exercice. On obtient alors \(E(p_1,p_2,U)\).
Le lemme de Shephard
À partir de la fonction de dépense, on peut déduire les demandes hicksiennes grâce au lemme de Shephard : $$\left\{ \begin{array}{ccl} h_1(p_1,p_2,U) &=& \frac{\partial{E}}{\partial{p_1}}(p_1,p_2,U)\\ &&\\ h_2(p_1,p_2,U) &=& \frac{\partial{E}}{\partial{p_2}}(p_1,p_2,U) \end{array} \right..$$
L’identité de Roy
À partir de la fonction d’utilité indirecte, on peut déduire les demandes marshalliennes grâce à l’identité de Roy : $$\left\{ \begin{array}{ccl} x_1(p_1,p_2,R) &=& – \frac{\frac{\partial{V}}{\partial{p_1}}(p_1,p_2,R)}{\frac{\partial{V}}{\partial{R}}(p_1,p_2,R)}\\&&\\\ x_2(p_1,p_2,R) &=& – \frac{\frac{\partial{V}}{\partial{p_2}}(p_1,p_2,R)}{\frac{\partial{V}}{\partial{R}}(p_1,p_2,R)} \end{array} \right..$$
Attention à ne pas oublier le signe moins dans l’identité de Roy !
C’est la fin de cette fiche, pour consulter davantage d’articles en lien avec la prépa D2, rendez-vous ici !
