Le Python est devenu une partie incontournable du programme pour réussir les épreuves de mathématiques, mais elle est souvent négligée et mise de côté par les étudiants. L’objectif de cet article est ainsi d’identifier les programmes Python que tu dois impérativement connaître pour bien débuter la première année et/ou pour vérifier tes acquis à l’entame de la deuxième année. Tu pourras ainsi utiliser les notions ci-dessous pour te constituer des fiches et vérifier que tu es bien à jour en Python. Je te rappelle toutefois que cette liste reste non exhaustive et qu’il est indispensable de suivre les cours dispensés par tes professeurs pour être prêt(e) le jour J.
Les suites en Python
Définition d’une suite
Tu dois être capable de définir une suite qui te permettra de calculer les différents termes de cette dernière. Pour cela, il te faudra donner le premier terme de la suite, puis faire appel à une boucle afin de renvoyer le rang souhaité.
Suite définie par récurrence
On considère la suite définie par \(u_0 = 2\) telle que \( \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} = \frac{u_n^2}{3} \)
On obtient :
Remarque : La boucle va de 1 à n+1 car, en Python, la borne supérieure d’une boucle (for i in range) n’est jamais incluse. Ainsi, cette boucle calcule bien les termes du rang 1 jusqu’au rang n.
Suite définie par une série
On considère la suite définie par \( \forall n \in \mathbb{N}^{*}, a_{n}=\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \).
On obtient :
Représentation d’une suite
Il est nécessaire que tu saches aussi représenter graphiquement une suite.
On considère la suite définie par \(u_0 = 10\) telle que \( \forall n\in \mathbb{N}, u_{n+1} = \frac{\sqrt{u_n}}{2} \).
Remarques :
a – La commande np.arange(n) permet de créer une matrice ligne de longueur n contenant les éléments 1, 2, 3…, n (cela permet d’identifier le rang de la suite qui sera en ordonnée sur le graphique).
b – La commande np.zeros(n) permet de créer une matrice ligne de longueur n contenant uniquement des 0 (ces 0 seront par la suite remplacés par la valeur de la suite).
c – Pour parcourir une matrice, il faut prendre en compte que la première ligne (et la première colonne) est indicée 0, le premier terme est donc en U[0].
Recherche de seuil
La recherche d’un seuil est une question classique qui revient souvent en concours. Il est donc indispensable de la maîtriser. On cherche ici à déterminer un rang n pour lequel la suite dépassera un certain seuil A.
À noter que le seuil peut être envisagé comme un plafond que la suite pourra dépasser, mais aussi comme un plancher en fonction de la monotonie de la suite (ici, il s’agit plutôt d’un plancher).
Utilisons la suite définie précédemment :
Exemple : La commande seuil(10**(-3)) renverra 5.
Les fonctions en Python
Définition d’une fonction et affichage graphique
Ce code est un incontournable et revient chaque année aux concours, alors veille à le connaître par cœur.
On considère une fonction f telle que \( \forall x \in \mathbb{R}, f(x)=exp(-x^2)-\frac{1}{2} \)
Remarque : Tu peux faire varier la fenêtre d’affichage en jouant sur np.linspace(0,10,100), sachant que [0,10] correspond aux bornes de l’affichage et 100 permet d’afficher 100 valeurs de f régulièrement espacées entre 0 et 10.
Dichotomie
La dichotomie revient chaque année, il est indispensable de maîtriser ce programme qui est très classique tant sur des sujets EML/EDHEC que des sujets ECRICOME. Elle permet de diviser un segment en petites zones de façon à se rapprocher de plus en plus d’une quantité à une précision déterminée.
Avec cette méthode, tu vas pouvoir trouver une quantité suffisamment proche d’un nombre réel connu. Généralement cette méthode permet de déterminer la solution approchée de l’équation telle que f(x)=0.
Voici le code qu’il faudra apprendre par cœur pour répondre à ce type de question.
On considère une fonction f définie par \( \forall x\in [0,10], f(x)=exp(-x^2)- \frac{1}{2} \)
Remarques :
a – Dans l’algorithme de dichotomie, il faut faire attention aux boucles if et else qui dépendent du sens de variation de la fonction. Si la fonction est décroissante (comme c’est le cas ici), la racine se situe du côté gauche lorsque f(a) et f(c) sont de signes contraires : on met alors b=c. En revanche, si la fonction est croissante, c’est l’extrémité gauche a qu’il faut déplacer vers c.
b – La commande round(c,2) permet d’afficher à la fin de l’exécution du programme une valeur approchée à 0,01 près de c. C’est plus agréable à lire et tu montres ainsi à ton correcteur que tu es conscient que Python est avant tout un langage informatique qui demande certaines optimisations d’affichage.
Bonus
Les programmes suivants sont plus rares, mais indispensables si tu souhaites décrocher une excellente note aux concours.
Les suites récurrentes d’ordre 2
Les suites récurrentes d’ordre 2 en Python sont différentes des suites récurrentes d’ordre 1, car elles demandent la mise en place d’une variable « tampon ».
On considère la suite définie par \(w_0 = 1, w_1=3 \) telle que \( \forall n\in \mathbb{N}, w_{n+2} = 2w_{n+1} + w_n \).
Remarque : La mise en place d’une variable tampon permet de mettre à jour les variables a et b pour la prochaine boucle. Par exemple, lors de la première boucle, on aura \( a=w_1 \) et \(b=w_2 \). Cela garantit la continuité de la récurrence de la suite, qui dépend des deux termes précédents.
Les suites imbriquées
Dans le même principe que les suites récurrentes d’ordre 2, les suites imbriquées vont faire appel à deux variables tampons.
On considère les suites définies par \( b_0=1, c_0=2\) telles que \( \forall n \in \mathbb{N}, b_{n+1} = 2b_n+c_ {n+1} \) et \( c_{n+1}=b_n+c_n \)
Conclusion
Voici quelques éléments qui pourront t’aider à rédiger tes fiches dès le début de la première année pour ne pas perdre de temps. Tu peux aussi te challenger en réécrivant les programmes SUR FEUILLE pour la mémoire mécanique et visuelle. La méthode de la feuille blanche est très efficace pour mémoriser les programmes Python. Si tu souhaites savoir comment la mettre en place, je te renvoie à cet article.
Sinon n’hésite pas à t’entraîner sur des annales dès que possible. Tu peux retrouver de manière plus générale tous les articles de maths ici !
