Voici le corrigé du sujet de maths emlyon 2019 ECE :
L’analyse
Ce sujet EML voie E 2019 est composé de 3 exercices de longueurs inégales avec un exercice 1 particulièrement court. Le rapport du jury 2018 maths EML promettait de réduire la taille du sujet, c’est chose faite. Nous pouvons nous réjouir aussi du retour des probabilités continues qui n’avaient pas vu le jour depuis 2016 (les anciens s’en rappellent)
- L’exercice 1 est l’exercice le plus court (possibilité de le boucler en 45 minutes). C’est un exercice composé de deux parties et qui traite de probabilités continues (même si des probabilités discrètes se cachent à certains endroits). La plupart des questions sont abordables et bien accompagnées même si quelques subtilités sont présentes : par exemple, la question 5 de la partie B.
- L’exercice 2 est un exercice d’algèbre linéaire très classique composé de 3 parties. La plupart des questions sont très abordables. Rien de surprenant !
- L’exercice 3 est un exercice d’analyse mélangeant des études de fonctions à une et à deux variables, une étude de suite, quelques séries et une fin en feux d’artifice avec une étude de suite-intégrale. Un exercice d’analyse très classique notamment pour la partie A et B. Cependant la fin de la partie C l’est beaucoup moins et comporte des subtilités. Ces questions départageront sûrement les excellents des bons candidats.
- Scilab : deux questions Scilab sont présentes dans le sujet dont une boucle for à compléter, très simple… Rien d’étonnant en maths EML.
Exercice 1 :
Exercice qui n’est pas commun et ressemble au premier regard à un début d’exercice type ESSEC II. Mais, en réalité la plupart des questions sont très abordables et extrêmement bien guidées.
La Partie A (hypothèses préliminaires) : Rien de particulier, étude de la convergence de variables à densité avec à la question 3 un cas particulier: l’hypothèse que les deux variables suivent une loi exponentielle.
Partie B (Application):
Cette partie est l’occasion de mettre en oeuvre quelques concepts plus difficiles:
- le min des variables aléatoires
- la définition d’une variable aléatoire discrète abstraite ne suivant pas de loi usuelle (ici on définissait la variable N égale au plus petit entier k de N* tel que Tk <= T0 si un tel entier existe, et égale à 0 sinon).
La question 4 (a,b) considère les Min de variables aléatoires indépendantes, suivant toutes la loi exponentielle de paramètre lambda. Cette question requiert une mécanique bien huilée connue des gourmands des annales de maths.
La question 5 (a,b,c,d) est plus subtile et nécessite de jongler avec cette variable aléatoire discrète abstraite ; on ne vous en voudra pas si vous coincez sur ces questions…
La question 6 est triviale, ne nécessite pas d’avoir répondu aux questions précédentes et demande de montrer si N admet une espérance sachant que P(N=n)=1/n(n+1) sur N*,
on voit directement par équivalence que nP(N=n) équivaut à une série de Riemann de paramètre 1 qui garantit une divergence de la série et donc qui permet d’affirmer que N n’a pas d’espérance.
Exercice 2 :
Il est composé de 3 parties indépendantes et il est un exercice d’algèbre linéaire. Le principe est d’étudier des exemples de matrices inversibles qui sont semblables à leur inverse.
La partie A est très basique, elle considère une matrice 3×3 triangulaire supérieure avec 1, ½ et 2 sur la diagonale qui sont évidemment les valeurs propres de A (première question).
Sans faire de calcul on en conclut que A est inversible (car pas de 0 sur sa diagonale supérieure c’est à dire sur sa réduite de Gauss) et est diagonalisable car A, matrice d’ordre 3, comporte 3 valeurs propres distinctes.
Après, on nous demande de déterminer D, soit mettre les valeurs propres dans l’ordre croissant sur la diagonale, puis de calculer P ( à l’aide des sous espaces propres associés aux valeurs propres). Puis on nous demandait de calculer le carré d’une nouvelle matrice Q puis QDQ. Et enfin on nous demandait d’en déduire par lien de causalité si A et A(-1) sont semblables. Cette partie A était à la portée de tout le monde et permettait de vérifier les connaissances élémentaires du candidat en algèbre linéaire.
La partie B mettait en place un endomorphisme f qu’il fallait expliciter en matrice M. Puis on nous demandait de montrer que 1 est une valeur propre de l’endormophisme, de déterminer un nouveau vecteur, de montrer qu’une famille est une base, d’écrire de nouvelles matrices dans de nouvelles bases et d’en déduire si elles sont semblables. Cela nécessitait encore des connaissances de base en algèbre linéaire et permettait de tester le sérieux et la connaissance du cours du candidat. Cependant, la principale difficulté de cette partie était de ne pas s’emmêler avec les différentes bases et de bien écrire la matrice dans sa base respective.
Et enfin la Partie C demandait à peu près les mêmes connaissances en algèbre linéaire que les parties précédentes et traitait de questions d’algèbre liées à une matrice T de taille 3×3.
L’exercice 3
est composé de trois parties indépendantes et mélange étude de fonctions à une et plusieurs variables, étude de suites, de séries et traite d’un mix suite-intégrale infâme. Un exercice facile mis à part les dernières questions de la partie C.
Partie A :
On étudie une fonction basique qui à tout t associe t+1/t. Dans cette partie extrêmement facile on nous demande d’étudier toujours la même chose :
- les variations de cette fonction
- ses limites
- de montrer que f réalise une bijection sur un intervalle
- de justifier une petite classe C1
Et petite nouveauté :
- de seulement mentionner que la bijection réciproque de f continue et strictement monotone sur un intervalle J a le même sens de monotonie que la fonction f (théorème de première année)
- Et de se ramener à une équation du second degré pour déduire une expression de la bijection réciproque de f.
Partie B:
On étudie une fonction de deux variables moins classique, (h(x,y)= (1/x + 1/y)(1+x)(1+y).)
mais les questions restent classiques :
- calculer les dérivées partielles
- montrer un point critique et en déduire son unicité
- et vérifier que h admet un minimum globale en (a,b) sur U
Partie C :
On étudie ici une suite, les premières questions sont simples mais la suite va se gâter à partir de la question 11)b) .
Question 8 : Une question assez simple qui consiste à montrer que u(n)>=1, puis un petit programme scilab classique à compléter (boucle for) à la question 9
Question 10 (a,b,c) : Manipulation d’inégalités et de séries convergentes
On remarque de plus une somme télescopique à la 10 c).
Question 11 (a,b,c,d) : La question 11 a) s’obtient assez aisément en posant bien les choses puis en intégrant entre k-1 et k. Puis, les 4 dernières sous-questions sont plus délicates et nécessitent plus de finesse. Il est fort probable que seulement une minorité de candidats ait touché ces questions. Le fait que ces questions soient à la fin du sujet n’est pas anodin.
Conclusion:
L’ensemble du sujet parcourt assez bien le programme ECE avec un exercice d’algèbre linéaire, un exercice d’analyse et un exercice de probabilités, comme à son habitude. De part la simplicité du sujet on prévoit que le 20 sera atteint si l’étudiant a parcouru de manière correcte plus de 80-90% du sujet. Une part non négligeable de la notation sera aussi basée sur la rédaction et le soin de la copie. L’épreuve de maths emlyon est connue pour ses exigences en rigueur mathématique.
Retrouvez toute l’actualité des concours dans notre rubrique Inside Concours !
