Ça y est, les maths c’est fini pour toi ! On espère que cette épreuve de maths approfondies EDHEC 2024 s’est bien passée et que tu sors satisfait de ta performance.
Le sujet de maths approfondies EDHEC 2024 est disponible ici. Tu peux retrouver sur cette page notre analyse du sujet, afin de connaître les difficultés et la structure de l’épreuve.
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Cette analyse partielle n’engage que son auteur.
L’analyse du sujet Maths approfondies EDHEC 2024
Le sujet Maths approfondies Edhec 2023 comporte 3 exercices et 1 problème. Le premier exercice porte principalement sur la matrice \(J_n\) qui ne comporte que des 1 et aussi sur les fonctions à plusieurs variables. L’exercice 2 porte sur les lois à densité et sur la fonction \(\arctan\). L’exercice 3 porte sur l’algèbre linéaire. Finalement, le problème se concentre sur des notions d’analyse et de probabilités.
Exercice 1
Le premier exercice commence avec des questions sur la matrice \(J_n\) dont tous les éléments valent 1, puis il nous fait étudier une fonction à \(n\) variables. Etant donné que toutes ses colonnes sont identiques, son rang vaut 1. D’après le théorème du rang on trouve que la dimension de \(\text{ker}(J_n)\) vaut \(n-1\) ce qui prouve les deux résultats. Pour montrer la 1) b) il suffit de multiplier \(J_n\) par \(V_n.\) D’après ces deux résultats nous pouvons conclure grâce aux dimensions des espaces propres que nécessairement les deux seules valeurs propres de \(J_n\) sont 0 et \(n.\)
La question 2) nous fait travailler autour d’une fonction à plusieurs variables. Le caractère \(C^2\) se justifie car chaque terme de la somme est \(C^2.\) Ensuite la question 3) se fait par calcul en cherchant toutes les dérivées partielles de cette fonction, ce qui permet de trouver l’ensemble des points critiques. Exactement de la même manière, nous trouvons les dérivées partielles d’ordre 2 de Ala fonction, cela nous permet d’obtenir la matrice hessienne de \(f_n.\) Puis la 4) c) se fait en utilisant la bibliothèque numpy pour créer les matrices \(I_n\) et \(J_n.\) Finalement le résultat de la 1) c) et de la 4) b) nous permet d’obtenir les valeurs propres de la matrice hesienne.
La question 5) nécessite d’appliquer l’inégalité de Cauchy Schwarz avec les vecteurs composés uniquement de 1 et des \(x_k.\) Grâce à cette inégalité que nous pouvons diviser par \( \displaystyle \frac{1}{n^2}\) nous trouvons que le minimum global est 0. Pour compléter le script Python il faut juste utiliser l’expression de \(f_n\) dans le cas où \(n\) vaut 2.
Exercice 2
Ce deuxième exercice porte sur les probabilités continues et sur la fonction \(\arctan.\) La question 1) a) est une question de cours, la dérivée évaluée en \(x\) vaut bien \( \displaystyle \frac{1}{1+x^2}.\) La question 1) b) se fait en dérivant le membre de gauche, la dérivée vaut 0, la fonction est donc constante et évaluée en 1 elle vaut bien \( \frac{\pi}{2}.\) La 1) c) peut se faire avec la formule de Taylor Young en utilisant la dérivée de la 1) a). La convergence de la question 2) peut se faire avec le critère de Riemann, il faut ensuite vérifier rigoureusement que c’est bien une densité. Pour la question 3) on peut dériver l’expression qu’il nous donne pour retrouver \(f\), il faut ensuite conclure en calculant la limite en \(-\infty.\)
La question 4) se fait par composition de fonctions strictement croissantes. Il faut ensuite manier la fonction de répartition \(F\) pour trouver la loi de \(U\). Finalement, pour la 4) c) elle se fait en posant \(y=F(x)\) et en exprimant \(x\) en fonction de \(y.\) Quant à la question 5), elle se fait par calcul d’intégrales en utilisant la densité \(f.\)
Le premier calcul de la 6) peut se faire à l’aide d’une IPP. Ensuite il faut partir du terme de gauche pour obtenir le membre de droite par calcul. Quant à l’encadrement, il peut se faire en majorant l’intégrande de l’intégrale étudiée.
Le premier résultat de la question 7) peut se faire en manipulant \(F\) : la fonction de répartition de \(X\) et en utilisant la fonction \(\ln.\) Il faut ensuite manipuler le maximum d’un vecteur de variables aléatoires ce qui se fait en utilisant l’indépendance des \(Y_i\) et une intersection d’événements. Finalement, la convergence peut se trouver en utilisant la fonction de répartition que nous venons de montrer, la limite utilise aussi le résultat de la question 1 !
Exercice 3
Cet exercice porte principalement sur l’algèbre bilinéaire. La première question nous fait montrer qu’un endomorphisme est bien symétrique, il faut passer par la définition d’une telle application. Il faut ensuite remarquer dans la question 2) que lorsque tous les \(\lambda_i\) valent 1 l’application renvoie la projection de \(x\) sur la famille des \(u_i.\)
La question 3) nécessite de se rendre compte que le caractère libre des \(u_i\) fait que si \(f(x)=0\) alors \(x\) est orthogonal à tous les \(u_i.\) De même, si \(x\) appartient à cet orthogonal alors \(f(x)=0.\) Donc ker est l’orthogonale des \(u_i\) d’où le fait que sa dimension vaut \(\text{dim}(E)-p.\) De même on trouve que Im correspond aux combinaisons linéaires des \(u_i\) c’est à dire \(\text{Im}(f)=U,\) et que sa dimension vaut \(p.\)
La question 4) se montre en vérifiant par calcul et en utilisant le fait que les \(u_i\) forment une famille orthogonal que chacun des \(\lambda_i\) est associé au vecteur propre \(u_i.\)
La question 6) nous fait travailler avec la notion de convergence d’un vecteur. En utilisant l’inégalité triangulaire pour la norme et en décomposant en partie \(x\) avec les \(u_i\) nous pouvons obtenir l’inégalité attendue. A l’aide d’une récurrence nous pouvons montrer le résultat de la 7) a). Ensuite, étant donné que \(K\) est positif et strictement inférieur à 1, nous avons d’après la 7) a) que le vecteur converge vers le vecteur nul.
Problème
Ce problème nous fait à la fois travailler sur des notions d’analyse et de probabilités. La première question peut se justifier en étudiant le signe de \(u_{n+1}-u_n\) et avec une étude du signe (positif) de l’intégrande. La suite \(u\) est donc minorée par 0 et décroissante, donc elle converge.
La question 2) a) peut se faire en considérant la fonction \( f =\displaystyle e^{\frac{x}{2}} – 1 -x\) puis en étudiant son signe grâce à sa dérivée. Grâce à l’inégalité de la 2) a), en appliquant la fonction inverse à cette dernière et en utilisant la définition de \(u_n\) nous arrivons à l’inégalité demandée. L’intégrale de la 2) c) peut se calculer à l’aide d’une loi normale ce qui nous permet de trouver la limite de la suite \(u\) avec le théorème des gendarmes.
La convergence de la question 3) peut s’obtenir avec le critère de Riemann en multipliant l’intégrande par \(t^2.\) Ensuite, la question 4) s’obtient en majorant l’intégrande de \(I_n\) par \( \displaystyle \frac{1}{t^{2n}}. \) Ainsi, grâce au théorème des gendarmes nous obtenons le fait que la suite \(I\) converge vers 0 ce qui est le résultat attendu dans la 4) b). Avec exactement le même raisonnement nous trouvons que la suite \(J\) converge vers 0.
Comme cela est indiqué dans le sujet, la question 5) se fait par calcul à l’aide d’une intégration par parties. Pour la 5) b) nous pouvons utiliser la relation que nous venons démontrer, il faudra ensuite isoler \(J_1\) et calculer \(J_2\) grâce à la fonction \( \arctan.\) Pour montrer la 5) c), il faut diviser l’égalité de la 5) a) et remarquer que le sujet nous fait étudier une série télescopique ce qui nous permet de trouver sa valeur. La question python 5) d) nous fait utiliser la bibliothèque numpy et nécessite d’utiliser la relation de la 5) a).
La question 6) peut se faire grâce à la relation que nous avons montrée dans la question 5) a), il fallait ensuite conclure par itération.
Dans la question 7), il fallait affirmer que la variable aléatoire \(X_n\) suit une loi binomiale de paramètres \(2n \; \text{et} \; \displaystyle \frac{1}{2}. \) Pour la relation de la 7) a), il fallait calculer une probabilité en remarquant qu’elle valait la probabilité que \(X_n\) vaille \(n.\) Nous pouvions alors calculer cette probabilité du fait que \(X_n\) suit une loi binomiale de paramètres \(2n \; \text{et} \; \displaystyle \frac{1}{2}, \) il suffisait alors de vérifier que cette probabilité valait le résultat de droite en utilisant le résultat de la 6). Finalement, grâce à la limite de \(J\) montrée dans la 4) c), nous pouvions affirmer que la probabilité tendait vers 0.
La question 7) c) doit être justifiée sans calcul, il fallait simplement dire que la probabilité d’avoir strictement plus de faces que de piles est la même que d’avoir strictement plus de piles que de faces car la probabilité d’avoir pile ou d’avoir face est \( \displaystyle \frac{1}{2}.\) Finalement, la 7) d) peut se montrer en utilisant la relation de la 7) c) et en écrivant le membre de droite comme 1 moins son complémentaire.
La question 8) nous fait justifier que la somme des \(Z_i\) qui suivent des lois de Bernoulli de paramètre \( \displaystyle \frac{1}{2} \) a bien la même loi que \(X_n,\) c’est à dire une loi binomiale de paramètres \(2n \; \text{et} \; \displaystyle \frac{1}{2}, \) ce qui est bien le cas. Comme le sujet nous l’indique il faut appliquer le théorème central limite à la suite des \(Z_i,\) cela nous permet d’obtenir la limite attendue. La dernière question de ce sujet peut finalement se faire en utilisant le résultat de la 8) b) avec la limite de la 7) b). Il fallait ensuite écrire la probabilité que \(X_n\) soit inférieur à \(Y_n\) comme la probabilité que \(X_n\) soit strictement inférieur à \(Y_n\) plus la probabilité que \(X_n\) soit égal à \(Y_n.\) Ce dernier terme tendant vers 0 nous retrouvons le résultat de la 7) d) !
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