L’analyse-synthèse est un raisonnement qu’on découvre souvent en classe préparatoire. Si elle peut a priori faire peur, cette méthode repose sur un schéma simple, à reproduire à chaque fois. Dans cet article, nous verrons donc quand utiliser l’analyse-synthèse et comment la rédiger.
À quoi sert l’analyse-synthèse ?
Ce raisonnement permet de prouver l’existence et l’unicité d’une solution à un problème mathématique. Par la même occasion, il permet de trouver l’unique décomposition qui répond au problème donné.
Souvent, dans le cadre du programme de mathématiques en prépa ECG, on cherche à prouver l’existence et l’unicité d’un couple répondant à certains critères. Par exemple, pour prouver que deux sous-espaces vectoriels sont supplémentaires.
Quand utiliser l’analyse-synthèse ?
Si ce raisonnement permet de prouver l’existence et l’unicité d’une solution, il ne faut pas l’utiliser dès qu’on voit apparaître le symbole mathématique \(\exists !\). En fait, l’analyse-synthèse permet de trouver la décomposition en plus de prouver son unicité et son existence. Mais comme c’est un raisonnement un peu long à mettre en place, il vaut mieux l’utiliser quand on n’a pas d’autre choix.
Dans le cadre du programme de mathématiques ECG, l’analyse-synthèse s’utilise en particulier pour démontrer une égalité : soit \(F\) et \(G\) deux sous-espaces vectoriels de \(E\), on veut montrer que \(F\oplus G=E\)
Ici, il existe plusieurs manières d’opérer. L’analyse-synthèse est une possibilité, sachant qu’elle donne en plus la décomposition. Le problème peut être posé différemment, c’est le prochain point.
Parfois, sans parler directement de supplémentarité, l’énoncé nous suggère d’utiliser le raisonnement par analyse-synthèse. Par exemple : montrer que toute fonction définie sur \(\mathbb{R}\) peut s’écrire comme la somme d’une fonction paire et d’une fonction impaire.
Comment rédiger l’analyse-synthèse ?
Le raisonnement repose sur une rédaction très précise. Il suffit de la connaître par cœur et de l’appliquer à chaque fois. Dans cette partie, je te décris simplement la rédaction dans un cas général, mais l’exemple concret qui suit te permettra de mieux comprendre ce qu’on attend de toi au concours.
Soit \(F\) et \(G\) deux sous-espaces vectoriels de \(E\), montrons que \(F\oplus G=E\).
On commence d’abord par l’analyse. Pour cela, on pose un vecteur \(x\) de \(E\) et on suppose qu’il existe \((x_F, x_G) \in F\times G\) tels que \(x_F+x_G=x\).
Alors, en utilisant les propriétés que l’on a sur \(F\) et \(G\), on cherche à déterminer \(x_F\) et \(x_G\) de telle sorte qu’ils ne dépendent que de \(x\).
Après avoir trouvé la décomposition, on conclut l’analyse en écrivant : « d’où l’unicité de la décomposition si elle existe. »
Ensuite, on commence la synthèse : on pose \(x_F\) et \(x_G\) comme ils ont été trouvés dans la partie analyse, et alors, il faut vérifier trois choses : que \(x_F \in F\), \(x_G \in G\) et \(x_F+x_G=x\). Souvent, la partie synthèse n’est pas spécialement compliquée, mais elle n’est pas à négliger, car c’est ici que tu verras si tu n’as pas fait de faute durant l’analyse.
Enfin, on peut conclure en écrivant : « d’où l’existence de la décomposition. »
Un exemple concret
Ici, on se pose dans un cas très classique en prépa ECG. On va montrer que l’ensemble des fonctions définies sur \(\mathbb{R}\) peut s’écrire comme la somme d’une fonction paire et d’une fonction impaire.
Analyse
Soit \(f\) une fonction définie sur \(\mathbb{R}\). Soit \(g\) une fonction paire et \(h\) une fonction impaire telles que \(f=g+h\). Déterminons \(g\) et \(h\).
\[\forall x \in \mathbb{R},\quad f(x)=g(x)+h(x) \quad \textbf{(1)}\]
Or, \(g\) est paire et \(h\) est impaire, donc on a : \[\forall x \in \mathbb{R}, \quad g(-x)=g(x) \quad \text{et} \quad h(-x)=-h(x)\]
Donc, on a : \[\forall x \in \mathbb{R}, \quad f(-x)=g(x)-h(x)\quad \textbf{(2)}\]
En effectuant les opérations \(\displaystyle \frac{(1)+(2)}{2}\) et \(\displaystyle \frac{(1)-(2)}{2}\), on obtient :
\[\forall x \in \mathbb{R}, \quad g(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}\] et \[\forall x \in \mathbb{R}, \quad h(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}\]
Ce qui prouve l’unicité de la décomposition si elle existe.
On remarque d’ailleurs que nos fonctions \(g\) et \(h\) ne dépendent que de \(f\).
Synthèse
Soit \(g\) et \(h\) les fonctions définies par
\[\forall x \in \mathbb{R}, \quad g(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}\] et \[\forall x \in \mathbb{R}, \quad h(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}\]
On vérifie aisément que \(f=g+h\) et que \(g\) est paire et \(h\) impaire.
D’où l’existence de la décomposition.
Ce qui achève le raisonnement par analyse-synthèse.
Finalement, toute fonction définie sur \(\mathbb{R}\) peut s’écrire comme la somme d’une fonction paire et d’une fonction impaire.
Si cet article méthodologique sur l’analyse-synthèse t’a aidé·e, on te conseille vivement de consulter nos ressources en mathématiques !
