Bienvenue dans notre cahier de vacances spécial carré ! Même s’il te reste encore quelques jours de vacances, il serait bon de revoir quelques basiques. Pour cela, nous t’avons sélectionné plusieurs exercices complets permettant de retravailler la rédaction et des points de cours précis.
Tu trouveras des exercices qui seront tirés des annales EDHEC et EM, et qui seront faisables après une première année en classe préparatoire. Nous mélangerons des exercices d’annales économiques (maths appliquées) et scientifiques (maths approfondies), en indiquant si les questions ne sont pas faisables pour les maths appliquées.
Bonne chance et bonne rentrée !
Cahier de vacances de maths ECG – jour 7 : exercice EDHEC ECS
Sujet faisable pour les maths appliquées et approfondies.
Le sujet
- Montrer que \( \displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{(1+x)^{2}} \, \mathrm{d}t \) est convergente et donner sa valeur
- On considère la fonction \(f\) définie par: \( \forall {x} \in \mathbb{R}, f(x) = \frac{1}{2(1+ | x |)^2} \).a) Montrer que f est paire.
b) Montrer que \(f\) peut être considérée comme une fonction densité de probabilité.
Dans la suite, on considère une variable aléatoire \(X\), définie sur un espace probabilisé
\((\Omega, \mathcal{P} (\Omega), \mathcal{A})\) admettant \(f\) comme densité. On note \(F\) la fonction de réparition de \(X\).
3. On pose \( Y = \ln (1 + | X |) \) et on admet que \(Y\) est une variable aléatoire à densité, elle aussi définie sur l’espace probabilisé \( (\Omega, \mathcal{P} (\Omega), \mathcal{A}\).
a) Déterminer \(Y (\Omega )\)
b) Exprimer la fonction de répartition \(G\) de \(Y\) à l’aide de \( F \) :
c) En déduire que \(Y\) admet pour densité la fonction \(g\) définie par :
\(
g(x) =
\begin{cases}
2e^{x}f(e^{x}-1)&\text{si} \; x \ge 0\\
0 &\text{sinon} \end{cases}
\)
d) Montrer enfin que \(Y\) suit une loi exponentielle dont on déterminera le paramètre.
Aide à la résolution
- Lorsqu’on te demande de montrer la convergence d’une intégrale il y a 2 possibilités: montrer la convergence par des théorèmes de comparaison avec d’autres intégrales (sans calcul de l’intégrale) et montrer la convergence en calculant l’intégrale. C’est ce qui est ici demandé de faire (ne perds donc pas ton temps en faisant la 1ère méthode puis en la calculant !). Pose un \(A \in\mathbb{R}^{+}\) et calcule l’intégrale avec comme borne supérieure A. Il te reste alors à trouver la limite du résultat obtenu à l’étape précédente. Si la limite est finie, celle-ci sera la valeur de l’intégrale. (limite finie = intégrale convergente, limite infinie/ pas de limite = intégrale non convergente).
- a. Il faut calculer \( f(-x) \) ! b. Te remémores tu les 3 points à vérifier pour pouvoir affirmer qu’il s’agit d’une densité de probabilité ? Si ce n’est pas le cas file voir le point de cours en dessous ! Tu peux te servir de la parité de la fonction \(f\) pour montrer sa convergence: il ne te reste alors plus qu’à montre sa convergence entre les bornes 0 et + infini.
- b. On sait que \(G(x)= P(Y \le x\)) et que \( Y = \ln(1 + | X |) \).
Lien vers la correction
Correction EDHEC ECE 2008
Points de cours abordés
- Qu’est ce qu’une intégrale convergente ?
On dit que l’intégrale \( \displaystyle \int_{a}^{b} f(t) \, \mathrm{d}t \) converge si la fonction \( x\mapsto \displaystyle \int_{a}^{x} f(t) \, \mathrm{d}t \) admet une limite finie quand \(x\) tend vers \(b\).
- b. Les 3 conditions qui prouvent qu’une fonction est une densité de probabilité:
- Fonction \(f\) définie sur et \( \mathbb{R} \)
- Fonction \(f\) continue sur \( \mathbb{R} \), privé éventuellement d’un ensemble fini de points
- Positivité de la fonction sur \( \mathbb{R} \).
- \( \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \, \mathrm{d}t=1 \).
Les erreurs à ne pas commettre
- Il faut poser un \(A \in \mathbb{R}^{+}\) pour calculer l’intégrale.
- a. N’oublies pas de vérifier que \( {-x} \) appartient à l’ensemble de définition de \(f\) ! (c’est généralement le cas si on te pose la question mais il faut néanmoins l’écrire).
b. LES 3 CONDITIONS SONT NÉCESSAIRES ! - b. Attention à ne pas se tromper en réécrivant les lignes. Les valeurs absolues autour du \(X\) sont primordiales ! Surtout n’allez pas plus loin si ce n’est pas demandé. C’est une perte de temps (vous n’aurez pas de points supplémentaires).
c. On peut montrer que\(G\) est de classe \(C^1\) sauf en \(0\). Il faut donc dériver G pour toutes les valeurs sauf \(0\) ET prendre une valeur arbitraire pour \(g(0)\). Même si on s’intéresse ici à \(g\), on n’oublie surtout pas ce qu’on sait de \(f\), qui rentre aussi en jeu. ICI, la parité de \(f\) est nécessaire !
Et voilà ! J’espère que cet exercice t’a permis de te remettre doucement dans le bain. Maintenant, n’hésite pas à te replonger dans ton cours sur les probabilités !
Retrouve ici tous les exercices du cahier de vacances disponibles ! Et n’oublie pas, un nouvel exercice arrive bientôt !
Tu as envie de connaître les changements de programme entre l’ancien et le nouveau ? N’hésite pas à consulter ces articles :
Les changements de programme de maths approfondies vs ECS
Les changements de programme de maths appliquées vs ECE
Les changements de programme de maths ECT 2013 vs 2021
J’espère que ce cahier de vacances t’aura été utile. Profite encore de tes quelques jours de tranquillité avant de commencer cette année marathon. Et n’oublie pas, Major-Prépa te suivra tout du long !
