Bienvenue dans notre cahier de vacances spécial carré ! Même s’il te reste encore quelques jours de vacances, il serait bon de revoir quelques basiques. Pour cela, nous t’avons sélectionné plusieurs exercices complets permettant de retravailler la rédaction et des points de cours précis de maths.
Tu trouveras des exercices qui seront tirés des annales EDHEC et EM, et qui seront faisables après une première année de classe préparatoire. Nous mélangerons des exercices d’annales économiques (maths appliquées) et scientifiques (maths approfondies), en indiquant si les questions ne sont pas faisables pour les maths appliquées.
Bonne chance et bonne rentrée !
Cahier de vacances de maths ECG – jour 1 : exercice 1 EDHEC ECS 2018
Attention, il s’agit de l’épreuve de maths qui a compté pour les concours et non l’épreuve diffusée avant l’épreuve de remplacement !
Sujet faisable pour les maths appliquées et approfondies (voire les ECT).
Les questions intéressantes du sujet – focus suites
La lettre n désigne un entier naturel non nul.
Soit \(f_n\), la fonction définie sur R+ par : \( \forall x \in \mathbb{R}^{+}, f_n(x) = 1 − x − x^n \)
- Montrer que l’équation \(f_n(x) = 0\), d’inconnue x possède une seule solution notée \(u_n\).
- a. Vérifier que \((u_n)\) appartient à \(]0, 1[\).
b. En déduire le signe de \(f_n+1u_n\), puis établir que la suite \((u_n)\) est croissante.
c. Conclure que la suite \((u_n )\) converge et que sa limite appartient à \([0, 1]\).
d. Montrer par l’absurde que \( \lim \limits_{n \to +\infty} \displaystyle u_n = 1 \). - Pour tout entier naturel n non nul, on pose \(v_n =1−u_n\).
a. Justifier que \(vn\) est strictement positif, puis montrer que \(l_n (v_n) \underset{n \to +\infty}{\sim} −nv_n\). On a, après calculs, \( \displaystyle \frac{\ln(\frac{-\ln(v_n)}{nv_n})}{\ln(v_n)} = 0\) et \(\ln(v_n) \underset{n \to +\infty}{\sim} -\ln(n)\).
b. Montrer enfin que : \(v_n \underset{n \to +\infty}{\sim} \frac{ln(n)}{n}\). - Donner la nature des séries de termes généraux \(v_n\).
Aide à la résolution
N’oublie pas de réutiliser les questions précédentes ! C’est la clé pour la réussite de ces questions.
- As-tu pensé au théorème de la bijection ?
- a. As-tu noté que \(f_n(0)=1\) et \(f_n(1)=-1\) ?
b. Compare \(u_n^{n+1}\) et \(u_n^n\) pour calculer \(f_{n+1}{(u_n)}- f_n{(u_n)}\).
c. Le théorème de la limite monotone te permet de montrer qu’une suite converge. - a. Pour montrer l’équivalence, cherche à écrire \(v_n\) en fonction de \(u_n\). Tu pourras te servir de l’équivalent classique suivant : \( \ln(1 + x) \underset {n \to {0}}{\sim} x \).
b. Les deux questions précédentes suffisent ! - Utilise les théorèmes de comparaison : équivalence, majoration…
Rédaction détaillée
Fais bien attention à nos conseils de rédaction. Dès maintenant, il faut absolument que tu apprennes (ou gardes) la bonne rédaction !
1. Montrer qu’une équation possède une unique solution ? Je pense directement à « théorème de la bijection/stricte monotonie » de la fonction/suite. Ici, il s’agit de la fonction \(f_n\). Pour montrer sa stricte monotonie, il faut dériver la fonction.
\(f_n\) est dérivable sur \( \mathbb{R}^{+} \) telle que \(f_n^{’}(x) = 1 – n*x^{n-1} < 0\). \(f_n\) est donc strictement décroissante sur \( \mathbb{R}^{+} \) (n’oublie pas d’écrire l’intervalle, sinon c’est faux !).
De plus, \( f_n(0) = 1 \) et \( \lim\limits_{x \to +\infty } \displaystyle f_n(x) = -\infty \).
Le théorème de la bijection permet d’affirmer que \(f_n\) réalise une bijection strictement croissante de \( \mathbb{R}^{+} \) dans \( ]-\infty;1]\).
L’équation \(f_n(x) = 0 \) admet donc bien une unique solution sur \( \mathbb{R}^{+} \).
2. a. On cherche à encadrer \((u_n)\) et la seule information que l’on ait est n \(f_n(u_n) = 0 \). Cherchons à encadrer \(f_n(u_n)\). On sait qu’on cherche à encadrer \((u_n)\) entre 0 et 1, donc on peut calculer \(f_n(0)\) et \(f_n(1)\) pour voir.
\(f_n(0) = 1\) et \(f_n(1) = -1 \), donc on a \(f_n(1)\) < \(f_n(u_n)\) < \(f_n(0)\). Par stricte décroissance de la fonction \(f_n\), on a \( 0 < u_n < 1 \).
2. b. On cherche à établir le signe de \(f_{n+1} (u_n)\) sachant que \(f_{n+1}(u_{n+1}) = 0 \), donc on peut chercher à majorer ou minorer \(f_{n+1} (u_n)\) avec \(f_{n+1}(u_{n+1}) \).
\(f_{n+1}(u_{n+1}) = 0 =f_n(u_n) = 1 − u_n − u_n^{n}\)
\(f_{n+1} (u_n) = 1 − u_n − u_n^{n+1}\)
Or, \( 0 < u_n < 1\), donc \( u_n^{n+1} < u_n^{n} \).
On a donc \(f_{n+1} (u_n) > f_{n+1}(u_{n+1}) \) = 0.
Puis, par stricte décroissance de \(f_{n+1}\), \(u_n < u_{n+1} \).
2. c. Montrer qu’une suite converge ? Théorème de la limite monotone (ce sont des réflexes à acquérir !).
\(u_n\) est croissante et majorée (réutilise les questions d’avant), donc d’après le théorème de la limite monotone, \(u_n\) converge.
De plus, on sait que pour tout n entier naturel, \( 0 < u_n < 1 \). Par passage au théorème de prolongement des inégalités (en faisant tendre \(n\) vers \(+\infty\)), on a donc :
\( 0 \le \lim \limits_{n \to +\infty} \displaystyle u_n \le 1 \) (n’hésite pas à regarder la partie « Les erreurs à éviter »).
2. d. On veut montrer par l’absurde que \( \lim \limits_{n \to +\infty} \displaystyle u_n = 1 \), or on sait que \( 0 \le \lim \limits_{n \to +\infty} \displaystyle u_n \le 1 \), donc on suppose par l’absurde que \( l = \lim \limits_{n \to +\infty} \displaystyle u_n < 1 \) (si on prouve que c’est faux, alors on prouve que \( \lim \limits_{n \to +\infty} \displaystyle u_n = 1 \)).
On suppose que \( l = \lim \limits_{n \to +\infty} \displaystyle u_n < 1 \).
Par continuité du logarithme, on a donc \( \lim \limits_{n \to +\infty} \displaystyle \ln(u_n) = \ln(l) < 0\).
Donc, \( \lim \limits_{n \to +\infty} \displaystyle \ {n*ln(u_n)} = -\infty \).
Or, \( f_n(u_n) = 0 \), donc \( u_n = 1 – u_n^{n} = 1 – \exp(n*ln(u_n)) \).
Par passage à la limite, \( l = \lim \limits_{n \to +\infty} \displaystyle u_n = 1 – 0 = 1 \).
Cela est contraire à ce qu’on a supposé précédemment. On aboutit donc bien à une contradiction.
On a bien \( \lim \limits_{n \to +\infty} \displaystyle u_n = 1 \).
3. a. Puisque \( 0 < u_n < 1 \), alors sachant que \(v_n =1−u_n\), on a \( 0 < v_n < 1 \).
De plus, on a \(v_n =1−u_n = u_n^n\).
Donc, \( \ln(v_n) = n*\ln(u_n) = n*\ln(1-v_n) \) (on reconnaît alors quelque chose qui ressemble à un équivalent classique, mais pour cela il faudrait \( \lim \limits_{n \to +\infty} \displaystyle v_n = 0 \) ).
Or, sachant \( \lim \limits_{n \to +\infty} \displaystyle u_n = 1 \), on a bien \( \lim \limits_{n \to +\infty} \displaystyle v_n = 0 \).
On utilise alors l’équivalent classique suivant : \( \ln(1 + x) \underset {n \to {0}}{\sim} x \), qui nous donne donc \( \ln(1 – v_n) \underset {n \to {0}}{\sim} -v_n \).
D’après l’égalité établie au-dessus, on a bien \( \ln(v_n) \underset {n \to {0}}{\sim} -nv_n \).
3. b. Question toute simple qui montre bien l’importance de relire les questions précédentes et d’encadrer les résultats !
D’après les résultats précédents, on a \( \ln(n) \underset {n \to {0}}{\sim} nv_n \). Donc, \( \frac {\ln(n)}{n} \underset {n \to {0}}{\sim} v_n \).
4. Donner la nature revient à dire si la suite est convergente ou divergente. Lorsque tu rencontres ce type de question, il est nécessaire de penser aux critères de comparaison des suites !
D’après la question 3.b, on sait que \( \frac {\ln(n)}{n} \underset {n \to {0}}{\sim} v_n \). On peut donc chercher à trouver la nature de la suite \( \frac {\ln(n)}{n} \).
Or, on sait que \( \forall n \ge 3 \), \( 0 \le \frac{1}{n} \le \frac{ln(n)}{n} \). Sachant que la série de terme général \( \frac{1}{n} \) diverge, la série de terme général \(\frac{ln(n)}{n} \) diverge également (si tu te poses la question des rangs \(n=0,n=1, n=2 \), n’hésite pas à aller voir à la section Les erreurs à éviter).
Par critère d’équivalence pour les séries à termes positifs, on peut donc affirmer que la suite \(v_n\) diverge.
Points de cours abordés
Théorème de la bijection
Soient \((a,b) \in \mathbb R^2\)
- Avec un segment — Si f est une fonction réelle, continue et strictement monotone sur\( [a, b]\), alors f réalise une bijection entre \([a, b]\) et \([f(a);f(b)]\).
- Avec un intervalle ouvert ou semi-ouvert — Soient a et b, finis ou infinis. Si \( f\) est réelle, continue et strictement monotone sur un intervalle \(I\) de bornes a et b, alors f réalise une bijection entre \([a, b]\) et \([f(a);f(b)]\).
Donc, pour tout réel \(k \in [f(a);f(b)]\), il existe un unique réel c de \(I\) tel que \( f(c) = k \). L’équation admet une unique solution dans \(I\).
Théorème de la limite monotone
- Une suite \((u_n)\) croissante et majorée converge.
- Une suite \((u_n)\) décroissante et minorée converge.
- Une suite \((u_n)\) croissante et non majorée diverge.
- Une suite \((u_n)\) décroissante et non minorée diverge.
Équivalent et limite classiques
- \( \ln(1 + x) \underset {n \to {0}}{\sim} x \)
- \( \lim\limits_{x \to +\infty } \displaystyle \frac {\ln(x)}{x} \)
Théorème de comparaison pour les séries (ATTENTION à termes positifs)
- Théorème des gendarmes : Soient \((u_n)\), \((v_n)\) et \((w_n)\) trois suites telles que \((u_n)\) et \((w_n)\) convergent vers un réel l. Si à partir d’un certain rang n, \(u_n\) ≤ \(v_n\) ≤ \(w_n\), alors la suite \((v_n)\) converge vers L.
- Majoration/minoration : Soient \(u_n\) et \(v_n\) deux suites telles qu’à partir d’un certain rang \(u_n\) ≤ \(v_n\).
Si \( \lim \limits_{n \to +\infty} {u_n} = +\infty \), alors \( \lim \limits_{n \to +\infty} {v_n} = +\infty \) .
Si \( \lim \limits_{n \to +\infty} {v_n} = -\infty \), alors \( \lim \limits_{n \to +\infty} {u_n} = -\infty \).
- Équivalence : Si deux suites \((u_n)\) et \((v_n)\) sont équivalentes, alors si l’une converge, l’autre converge aussi. Idem dans le cas où elles divergent.
- Négligeabilité : Soit \( u_n \underset{x_{0}}{=}o(v_n) \).
Alors, si \((v_n)\) converge, \(( u_n)\) converge également.
Et si \( (u_n)\) diverge, \((v_n)\) diverge également.
Apprends absolument par cœur ces points de cours. Tu ne peux pas commencer ta deuxième année avec ces lacunes !
Les erreurs à éviter
- Théorème de la bijection : il est nécessaire d’avoir la stricte monotonie de la suite ! C’est ce qui permet d’affirmer l’UNIQUE solution.
- c. Un passage à la limite transforme des inégalités strictes en inégalités larges. Attention à cette erreur très courante !
d. Attention à la manière dont tu mènes ta démonstration par l’absurde. Voici le plan à toujours suivre :
A. Je suppose quelque chose que je juge faux (qui me permet de prouver que c’est faux ou qui me permet de prouver que l’inverse est vrai).
B. Je « joue » avec cette supposition afin d’arriver à une incompatibilité. Dans le cas d’exercice de suites/séries numériques, ne pas hésiter à utiliser les outils suivants : passage au logarithme/exponentielle, passage à la limite, équivalence.
C. J’indique clairement où se trouve mon incompatibilité.
D. Je conclus mon argumentation par l’absurde en affirmant que ce que j’ai supposé est faux (et si besoin que l’inverse est donc vrai).
4. Les premiers termes ne changent rien à la nature de la série !
Petit conseil : si certaines de ces erreurs sont courantes chez toi, tu peux te créer un petit cahier d’astuces et d’erreurs à éviter à relire assez souvent.
Et voilà ! J’espère que cet exercice t’a permis de te remettre doucement dans le bain. Maintenant, n’hésite pas à te replonger dans ton cours sur les suites numériques réelles !
Si tu as une question, ou si tu vois une erreur, n’hésite pas à m’envoyer un mail à l’adresse suivante : julia.nagel.73@gmail.com, sans oublier d’écrire MAJOR-PRÉPA en objet !
Pour accéder au sujet : Maths EDHEC 2018 ECS – Sujet
Retrouve ici tous les cahiers de vacances disponibles !
Tu as envie de connaître les changements de programme entre l’ancien et le nouveau ? N’hésite pas à consulter ces articles :
Les changements de programme de maths approfondies vs ECS
Les changements de programme de maths appliquées vs ECE
Les changements de programme de maths ECT 2013 vs 2021
