Bienvenue dans notre cahier de vacances spécial carré ! Même s’il te reste encore quelques jours de vacances, il serait bon de revoir quelques basiques. Pour cela, nous t’avons sélectionné plusieurs exercices complets permettant de retravailler la rédaction et des points de cours précis de maths.
Tu trouveras des exercices qui seront tirés des annales EDHEC et EM, et qui seront faisables après une première année en classe préparatoire. Nous mélangerons des exercices d’annales économiques (maths appliquées) et scientifiques (maths approfondies), en indiquant si les questions ne sont pas faisables pour les maths appliquées.
Bonne chance et bonne rentrée !
Cahier de vacances de maths ECG – jour 2 : exercice 2 EDHEC ECE 2022
L’exercice est assez court, mais il te permet de retrouver certains réflexes. C’est aussi l’occasion de te remettre à la rédaction !
Sujet faisable pour les maths appliquées et approfondies.
Les questions intéressantes du sujet – focus probabilités discrètes
Soit \(n \ge 2\).
Un préparationnaire qui ne sait plus quoi faire de ses vacances découvre un jeu vidéo. Pour gagner, il doit réussir dans l’ordre \(n\) niveaux numérotés de 1 à \(n\). Il ne peut accéder à un niveau qu’après avoir réussi le niveau précédent. Le jeu s’arrête dès que le joueur échoue à un niveau ou bien lorsqu’il a réussi les n niveaux du jeu.
\(\forall k \in [\![1,n-1]\!]\), on dit que le joueur en est au niveau \(k\) s’il a réussi le niveau \(k\) et a échoué au niveau \(k+1\). On dit que le joueur est au niveau \(n\) s’il a réussi tous les niveaux (\(n\) compris) et on dit qu’il est au niveau 0 s’il a échoué dès le niveau 1.
Les niveaux sont d’égale difficulté. On admet donc que la probabilité de passer d’un niveau à un autre est constante et égale à \(p\) avec \(p \in ]0,1[\).
On note \(X_n\) le niveau du joueur et on admet que \(X_n\) est une variable aléatoire définie sur un espace probabilité (\(\Omega, \mathcal{P}(\Omega), \mathcal{A})\). Pour tout \(k \in [\![1,n]\!]\), on note \(R_k\) l’événement « le joueur réussit le niveau \(k\) ».
- Déterminer la probabilité \(P(X_n = k)\) pour tout \(k \in \mathbb{N}\).
- Vérifier que \(X_n\) admet une espérance et la déterminer.
- Déterminer \(\lim \limits_{n \to +\infty} E(X_n)\).
Aide à la résolution
Cet exercice n’est pas forcément difficile, mais il demande un peu de rigueur.
- Cette question demande quelques réflexes. Le premier à avoir est bien sûr de chercher l’univers image de \(X_n\) afin de ne pas t’embarquer dans des calculs inutiles. Ici, il est clair que \(X_n(\Omega)=[\![0,n]\!]\). Il faut ensuite t’intéresser aux cas particuliers. Commence donc par étudier \(P(X_n=0)\) et \(P(X_n=n)\). Réfléchis à ce que les événements \((X_n=0)\) et \((X_n=n)\) représentent et appuie-toi sur les événements \(R_k\). Tu dois te souvenir des différentes formules que tu connais : formule des probabilités totales, des probabilités composées, et penser à ce qu’implique l’indépendance des événements. Enfin, cherche à déterminer \(P(X_n=k)\) avec \(k\in[\![1,n-1]\!]\). Et pour être sûr.e de ne pas t’être trompé.e, pense à vérifier que \(\displaystyle \sum_{k=0}^{n}P(X_n=k) = 1\). C’est l’occasion de revoir aussi comment calculer une somme finie !
- Question de cours : l’univers image de \(X_n\) est fini, la variable admet donc une espérance. En ce qui concerne le calcul de la somme, pense à bien distinguer le cas \((X_n=n)\). Tu trouveras pour le reste une somme géométrique dérivée partielle que l’on rencontre assez souvent. Petit rappel sur la manière de la calculer. En posant \(\forall p \in [-1, 1], f(p)=\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}p^k\), il vient que \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}kp^{k-1}=f'(p)\) avec \(f\) fonction dérivable sur [-1, 1] en tant que polynôme. Or, \(\forall p \in [-1, 1], f(p)=\frac{1-p^n}{1-p}\). Il suffit donc de dériver cette nouvelle expression pour trouver que : \(\forall p \in [-1, 1]\), \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} kp^{k-1} = \) \(\frac{-np^{n-1}(1-p) + (1-p^n)}{(1-p)^2} =\) \(\frac{(n-1)p^n-nx^{n-1}+1}{(1-p)^2}\).
- Le passage d’une somme finie à une série se fait aisément. Le plus intéressant pour toi est de te ramener à la situation concrète : qu’est-ce que tu as cherché à déterminer au cours de cet exercice ? Choisis des valeurs de \(p\) pour voir si les espérances ainsi obtenues sont cohérentes.
Correction
La correction de l’exercice 2 EDHEC ECE 2022 n’est pas encore disponible, elle le sera très prochainement !
Points de cours abordés
Formule des probabilités totales
Soit \(({A_i})_{i \in \mathbb{N}}\) un système complet d’événements, tous de probabilité non nulle. Soit \(B\) un événement. Alors \(P(B)=\displaystyle \sum_{i \ge 0} P(A_i \cap B)\).
Formule des probabilités composées
Soient \((A_1, …, A_m)\) des événements tels que \(P(A_1 \cap … \cap A_m)\ne 0\). Alors \(P(A_1 \cap … \cap A_m)=P(A_1)\times P_{A_1}(A_2)\times P_{A_1\cap A_2}(A_3)\times…\times P_{A_1\cap…\cap A_{m-1}}(A_m)\).
Indépendance de deux variables aléatoires
On dit que deux variables aléatoires A et B sont indépendantes si \(P(A\cap B)=P(A)P(B)\).
Espérance d’une variable aléatoire discrète
On dit que \(X\) admet une espérance si la somme \(\displaystyle \sum_{k \ge 0} kP(X=k)\), où k décrit \(X(\Omega)\) converge. On a alors \(E(X)=\displaystyle \sum_{k \ge 0} kP(X=k)\).
Les erreurs à éviter
Fais attention à ne pas aller trop vite et commence bien par chercher \(X(\Omega)\).
Le fait que l’univers image de \(X\) soit fini te permet de conclure immédiatement sur l’existence d’une espérance.
À chaque fois que tu utilises un théorème, n’oublie pas de rappeler ce qui t’autorise à le faire (indépendance, système complet d’événements, etc.).
Et voilà ! J’espère que cet exercice t’a permis de te remettre doucement dans le bain. Maintenant, n’hésite pas à te replonger dans ton cours sur les variables aléatoires réelles discrètes !
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