Bienvenue dans notre cahier de vacances spécial carré ! Même s’il te reste encore quelques jours de vacances, il serait bon de revoir quelques basiques. Pour cela, nous t’avons sélectionné plusieurs exercices complets permettant de retravailler la rédaction et des points de cours précis.
Tu trouveras des exercices qui seront tirés des annales EDHEC et EM, et qui seront faisables après une première année en classe préparatoire. Nous mélangerons des exercices d’annales économiques (maths appliquées) et scientifiques (maths approfondies), en indiquant si les questions ne sont pas faisables pour les maths appliquées.
Bonne chance et bonne rentrée !
Cahier de vacances de maths ECG – jour 3 : exercice 2 EDHEC ECS 2006
Je te propose aujourd’hui de faire un exercice sur les suites afin de revoir les notions de convergence, de série, mais aussi les équivalents.
Les questions intéressantes du sujet – focus suites et séries
- a) Montrer que l’on définit bien une unique suite \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\), à termes strictement positifs, en posant \(u_1=1\) et, \(\forall n \ge 2, u_n =\frac{1}{2n-1}\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}u_k\).
b) Calculer \(u_2\) et \(u_3\). - Montrer que la série de terme général \(u_n\) est divergente et donner \(\lim \limits_{n \to +\infty}\displaystyle \sum_{k=1}^{n}u_k\).
- a) Établir que : \(\forall n \ge 2, u_n+1 = \frac{2n}{2n+1}u_n\).
b) En déduire que la suite \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) est convergente.
c) Donner un équivalent de \(\ln(\frac{u_n}{u_{n+1}})\) lorsque \(n\) est au voisinage de \(+\infty\), puis déterminer la nature de la série de terme général \(\ln(\frac{u_n}{u_{n+1}})\).
d) En déduire \(\lim \limits_{n \to +\infty}\ \ln(u_n)\), puis montrer que \(\lim \limits_{n \to +\infty} u_n = 0\). - a) Montrer que : \(\forall n \ge 2, u_n=\frac{4^n}{4n{{2n}\choose{n}}}\) avec \({2n}\choose{n}\) un coefficient binomial.
b) En utilisant la question 2), déterminer \(\lim \limits_{n \to +\infty} nu_n\) puis montrer que \({2n}\choose{n}\)\(=o(4^n)\) - En utilisant le résultat de la question 3), montrer que \(\frac{4^n}{n}\) \(= o({{2n}\choose{n}})\).
Quelques pistes de correction
Aide à la résolution
- a) Cette question est très riche et demande de vérifier de nombreuses choses. On veut d’abord vérifier l’existence de la suite que l’on souhaite étudier ensuite. Pour cela, rappelle-toi qu’un exercice sur les suites fera forcément appel à une récurrence à un moment ou à un autre. C’est le cas ici. Pose bien ta proposition : on veut que pour tout \( n \in \mathbb{N}^{*}, u_n\) soit défini et positif. Cette question 1 suppose aussi de vérifier que la suite ainsi définie est unique. Ta démarche doit ici être la suivante : suppose qu’il y ait une suite \((v_n)_{n \in \mathbb{N}}\) vérifiant les mêmes conditions et montre qu’alors \(\forall n \in \mathbb{N}^{*}, v_n = u_n\). Une récurrence peut encore ici s’avérer être une bonne idée…
b) Je te laisse faire tes calculs ! Les premiers termes te permettent déjà de faire des conjectures quant à la convergence de la suite. - La formulation de la question te permet de comprendre qu’il te faut chercher un minorant de \(u_n\) qui diverge. Prends donc du recul sur la construction de la suite. Que peux-tu dire d’une somme de termes positifs ? N’y a-t-il pas moyen de la minorer ? (par \(u_1\) serait une bonne idée.) Il te faut ensuite te ramener à \(u_n\) : en multipliant, n’oublie pas de vérifier que le sens de l’inégalité ne change pas. En principe, tu dois être parvenu.e à l’inégalité \(\frac{1}{2n-1} < u_n\). Il te faut trouver un minorant de \(\frac{1}{2n-1}\) qui te permette de retrouver une série de Riemann pour pouvoir conclure et le tour est joué !
- a) Jongle avec les diverses expressions de \(u_n\), trouvées au long de l’exercice ou données par l’énoncé.
b) Tu as besoin de trouver la monotonie de la suite et un minorant/majorant pour pouvoir appliquer le théorème de la convergence monotone.
c) Ramène-toi à une expression du type \(\ln(1+x)\) avec \(x\rightarrow 0\) dont tu connais un équivalent. Les règles de comparaison sur les séries à termes positifs (attention !) te permettent de conclure. - a) Encore une fois, une récurrence peut t’être bien utile.
b) Tu as \(\forall n \ge 2, nu_n=\frac{n}{2n-1}\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}u_k\) selon l’expression donnée par l’énoncé. Fais le bilan de toutes les limites que tu as trouvées précédemment. Pour la seconde partie de la question, ton but est d’arriver à montrer que \(\lim \limits_{n \to +\infty} \frac{{2n}\choose{n}}{4^n}=0\). Fais le lien avec \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) grâce à l’expression trouvée en 4.a). - La limite de \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) trouvée en 3.d) te permet de conclure quant à la limite de \(\frac{4^n}{{n}{{2n}\choose{n}}}\).
Lien vers la correction
Points de cours abordés
Théorème de la convergence monotone
Si une suite est croissante (ou décroissante) et majorée (reps. minorée), alors elle est convergente. Si ce n’est pas le cas, on dit qu’elle est divergente.
Convergence des séries
- On pose \(\sum u_n\) et \(\sum v_n\) deux séries positives à partir d’un certain rang \(N\) telles que \(\forall n \ge N, u_n \le v_n\).
Si \(\sum v_n\) converge, alors \(\sum u_n\) converge.
Si \(\sum u_n\) diverge, alors \(\sum v_n\) diverge. - Soient \(\sum u_n\) et \(\sum v_n\) deux séries positives à partir d’un certain rang \(N\) telles que \(u_n\underset{+\infty}{\sim}v_n\) alors les séries sont de même nature.
Les séries de Riemann
La série de terme général \(\frac{1}{n^\alpha}\) converge si et seulement si \(\alpha > 1\).
Équivalents et négligeabilité
- On dit que \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) est négligeable devant \((v_n)_{n \in \mathbb{N}}\) si \(\lim \limits_{n \to +\infty} \frac{u_n}{v_n} =0\).
- On dit que \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) est équivalente à \((v_n)_{n \in \mathbb{N}}\) si \(\lim \limits_{n \to +\infty} \frac{u_n}{v_n} =1\).
Les erreurs à éviter
Fais attention en maniant les inégalités : ne fais pas qu’additionner et multiplier par un même terme (et dans ce cas, fais attention au signe de ton facteur) au risque de commettre des erreurs. Ne saute pas d’étapes, au risque de multiplier les risques d’erreur et compliquer la tâche au correcteur éventuel qui cherche à suivre ton raisonnement.
Et voilà ! J’espère que cet exercice t’a permis de te remettre doucement dans le bain. Maintenant, n’hésite pas à te replonger dans ton cours sur les suites !
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