Bienvenue dans notre cahier de vacances spécial carré ! Même s’il te reste encore quelques jours de vacances, il serait bon de revoir quelques basiques. Pour cela, nous t’avons sélectionné plusieurs exercices complets permettant de retravailler la rédaction et des points de cours précis.
Tu trouveras des exercices qui seront tirés des annales EDHEC et EM, et qui seront faisables après une première année en classe préparatoire. Nous mélangerons des exercices d’annales économiques (maths appliquées) et scientifiques (maths approfondies), en indiquant si les questions ne sont pas faisables pour les maths appliquées.
Bonne chance et bonne rentrée !
Cahier de vacances de maths ECG – jour 5 : exercice 2 EDHEC ECS 2005
J’ai choisi aujourd’hui un petit exercice sur les probabilités à densité afin de passer en revue tes connaissances sur les lois classiques. Prêt.e ? C’est parti !
Sujet faisable pour les maths appliquées et approfondies.
Les questions intéressantes du sujet – focus probabilités à densité
Pour rappel, on note pour tout réel \(x\) sa partie entière \(\lfloor x \rfloor\). \(\lfloor x \rfloor\) est le seul entier vérifiant : \(\lfloor x \rfloor \le x \le \lfloor x \rfloor +1\).
On considère une variable aléatoire \(X\) définie sur un espace probabilité \((\Omega, \mathcal{P}
(\Omega), \mathcal{A})\) qui suit la loi exponentielle de paramètre \(\lambda\) avec \(\lambda > 0\). On note \(F\) sa fonction de répartition.
On pose \(X_1=\lfloor X \rfloor, X_2=\lfloor 10(X-X_1) \rfloor\) et l’on admet que \(X_1\) et \(X_2\) sont des variables aléatoires définies elles aussi sur \((\Omega, \mathcal{P}(\Omega), \mathcal{A})\).
- a) Déterminer \(X_1(\Omega)\), puis exprimer pour tout \(k \in X_1(\Omega), P(X_1=k)\) à l’aide de \(F\).
b) En déduire que \(X_1+1\) suit une loi géométrique dont on donnera le paramètre.
c) Déterminer \(E(X_1)\) en fonction de \(\lambda\). - a) Déterminer \(X_2(\Omega)\).
b) Justifier que \(\forall k \in X_2(\Omega), P(X_2=k)=\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty}
P([X_1=i]\cap [X_2=k])\) puis que \(P(X_2=k)=\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty}(F(i+\frac{k+1}{10}-F(i+\frac{k}{10}))\). En déduire que \(\forall k \in X_2(\Omega), P(X_2=k)=e^{\frac{-\lambda k}{10}}\frac{1-e^{\frac{-\lambda}{10}}}{1-e^{-\lambda}}\). - Montrer que \(X_1\) et \(X_2\) sont indépendantes.
Aide à la résolution
- a) Fais bien le lien entre \(X\) et \(X_1\) grâce aux informations qui sont rappelées sur la fonction partie entière.
b) Continue le calcul de la question a) et remplace ta fonction de répartition pour te retrouver face à une intégrale classique. Tu peux ensuite créer une autre variable (notée \(Y_1\) par exemple) égale à \(X_1+1\) qui suivra, elle, une loi géométrique.
c) Appuie-toi sur \(Y_1\) et sur la linéarité de l’espérance. - a) Réfléchis à ce que représente \(X_2\).
b) Appuie-toi sur le système complet d’événements \(({P(X_1=i)})_{i \in \mathbb{N}}\) pour pouvoir appliquer la formule des probabilités totales. Prends ensuite le temps nécessaire pour faire les calculs sans erreurs. - Compare \(P((X_1=k_1)\cap (X_2=k_2))\) et \(P((X_1=k_1)P(X_2=k_2))\).
Lien vers la correction
Points de cours abordés
Loi exponentielle
\(X \hookrightarrow \mathcal{E}(\lambda)\) signifie que \(X\) admet pour densité \(f(x)=\begin{cases}0 &\text{si} \; x \le 0\\ \lambda e^{-\lambda x}&\text{si} \; x > 0 \end{cases}\) avec \(\lambda >0\).
X admet une espérance \(E(X)=\lambda\) et une variance \(V(X)=\lambda\).
Loi géométrique
\(X \hookrightarrow\mathcal{G}(p)\) signifie que \(\forall k \in \mathbb{N}^*, P(X=k)=p(1-p)^{k-1}\).
X admet une espérance \(E(X)=\frac{1}{p}\) et une variance \(V(X)=\frac{1}{p^2}\).
Formule des probabilités totales
Soit \(({A_i})_{i \in \mathbb{N}}\) un système complet d’événements, tous de probabilité non nulle. Soit \(B\) un événement. Alors \(P(B)=\displaystyle \sum_{i \ge 0} P(A_i \cap B)\).
Variables indépendantes
On dit que deux variables aléatoires A et B sont indépendantes si \(P(A\cap B)=P(A)P(B)\).
Les erreurs à éviter
Pour une variable à densité, tu as bien \(\forall x \in X(\Omega), P(X<x)=P(X\le x)\).
Et voilà ! J’espère que cet exercice t’a permis de te remettre doucement dans le bain. Maintenant, n’hésite pas à te replonger dans ton cours sur les variables aléatoires à densité !
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