Bienvenue dans notre cahier de vacances spécial carré ! Même s’il te reste encore quelques jours de vacances, il serait bon de revoir quelques basiques. Pour cela, nous t’avons sélectionné plusieurs exercices complets permettant de retravailler la rédaction et des points de cours précis.
Tu trouveras des exercices qui seront tirés des annales EDHEC et EM, et qui seront faisables après une première année en classe préparatoire. Nous mélangerons des exercices d’annales économiques (maths appliquées) et scientifiques (maths approfondies), en indiquant si les questions ne sont pas faisables pour les maths appliquées.
Bonne chance et bonne rentrée !
Cahier de vacances de maths ECG – jour 6 : exercice 2 EDHEC ECS 2016
Dernière page de ce cahier de vacances et on finit en beauté : l’algèbre linéaire. Prends le temps de rédiger ces beaux raisonnements par analyse-synthèse !
Sujet faisable pour les maths appliquées et approfondies.
Les questions intéressantes du sujet – focus sommes directes
- Dans cette question, \(f\) est un endomorphisme de \(\mathbb{R}^n\) qui vérifie \(f \circ (f-id)^2 =0\).
a) Déterminer \((f-id)^2+f\circ(2id -f)\).
b) En déduire que \(\forall x \in \mathbb{R}^n, x=(f-id)^2)(x)+(f\circ(2id -f))(x)\).
c) En déduire enfin que \(\mathbb{R}^n=Ker(f) \oplus Im(f)\). - On choisit maintenant dans cette question \(f\) endomorphisme de \(\mathbb{R}^n\) tel que : \(f \circ (f-id) \circ (f-4id)=0\).
a) Déterminer un polynôme \(P \in \mathbb{R}_1[X]\) vérifiant \(\frac{1}{4}(X-1)(X-4)+XP(X)=1\).
b) En déduire que \(\mathbb{R}^n=Ker(f) \oplus Im(f)\). - Dans cette question, enfin, \(f\) est un endomorphisme de \(\mathbb{R}^n\) et \(P\) un polynôme annulateur de \(f\) de degré \(p\ge 2\) tel que \(P(0)=0\) et \(P'(0) \ne 0\).
a) Montrer qu’il existe \(p\) réels \(a_1, …, a_p\) avec \(a_1\ne 0\) tels que \(P=a_1X+…+a_pX^p\).
b) En déduire que \(Ker(f)\cap Im(f)={0}\), puis établir que \(\mathbb{R}^n=Ker(f) \oplus Im(f)\).
c) En quoi cette question est-elle une généralisation des deux questions ?
Aide à la résolution
- a) N’oublie pas que \(id\) et \(f\) commutent.
b) Il s’agit d’une application à \(x\) de la question précédente.
c) Pour montrer que deux sous-espaces vectoriels sont en somme directe, tu peux soit raisonner par analyse-synthèse, soit vérifier deux des trois points suivants : montrer que tout élément de \(\mathbb{R}^n\) se décompose comme somme d’éléments de \(Ker(f)\) et \(Im(f)\), dans ce cas trouve comment faire le lien entre \((f-id)^2)(x), (f\circ(2id -f))(x)\) et \(Ker(f), Im(f)\), montrer que \(dim Ker(f)+dim Im(f)=n\) et montrer que \(Ker(f)\cap Im(f)={0}\). À toi de voir ce qui est ici le plus judicieux. - a) Fais attention à ta rédaction.
b) Suis le procédé de la question 1). Commence par appliquer ton égalité à tout \(x \in \mathbb{R}^n\), puis choisis la méthode la plus rapide pour parvenir à prouver la somme directe. - a) Que t’apporte le fait que \(P\) s’annule en 0 ? Et que \(P’\) ne s’annule pas en 0 ?
b) Un raisonnement par double inclusion s’impose. Prends un élément de \(Ker(f)\cap Im(f)\) et montre en t’appuyant sur le polynôme de la question précédente qu’il est forcément égal à 0. Puis montre que \(0 \in Ker(f)\cap Im(f)\).
c) Les polynômes annulateurs de \(f\) des questions 1 et 2 ne vérifient-ils pas \(P(0)=0\) et \(P'(0) \ne 0\) ?
Lien vers la correction
Points de cours abordés
Somme directe (définition)
Soient \(F\) et \(G\) deux sous-espaces vectoriels de \(E\). On dit que la somme \(F + G\) est directe si tout vecteur de \(F + G\) se décompose de manière unique comme la somme d’un élément de \(F\) et d’un élément de \(G\).
Somme directe (propriété)
Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel et soient \(F\) et \(G\) deux sous-espaces vectoriels de E.
- \(F+G\) est directe \(\Leftrightarrow \; F\cap G={0}\)
- En dimension finie, \(F+G\) est directe \(\Leftrightarrow \; dim(F)+dim(G)=dim(E)\)
N.-B. : L’existence d’un supplémentaire d’un sous-espace vectoriel est prouvée dans le cadre des espaces vectoriels de type fini.
Les erreurs à ne pas commettre
En résolvant la question 2.a), fais attention à ne pas simplifier par X… Tu ferais une division ; or, rien ne te dit que X n’est pas égal à 0.
À chaque fois que tu dois montrer que deux sous-espaces vectoriels sont supplémentaires, regarde bien ce que tu as prouvé dans les questions précédentes. Tu pourras gagner de précieuses secondes. Ici, l’analyse-synthèse n’avait ainsi rien de pertinent.
Et voilà ! J’espère que cet exercice t’a permis de te remettre doucement dans le bain. Maintenant, n’hésite pas à te replonger dans ton cours sur l’algèbre linéaire !
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J’espère que ce cahier de vacances t’aura été utile. Profite encore de tes quelques jours de tranquillité avant de commencer cette année marathon. Et n’oublie pas, Major-Prépa te suivra tout du long !
