L’intégration par parties (ou IPP) est une méthode incontournable dans les sujets d’analyse, surtout aux Parisiennes. Cette méthode est utile pour calculer des intégrales dont l‘intégrande est le produit de deux fonctions. On apprend dès la première année la formule (à connaître par cœur !!!) de l’IPP :
\[ \displaystyle \int_{a}^{b}u'(t)v(t) \, \mathrm{d}t = \big[u(t).v(t)\big]^b_a – \displaystyle \int_{a}^{b}u(t)v'(t) \, \mathrm{d}t \]
Dans cet article, tu verras quelles sont les conditions à vérifier (que tu dois toujours énoncer, à l’écrit comme à l’oral) pour pouvoir effectuer une IPP. Je vais te donner quelques astuces pour savoir quelle fonction intégrer et laquelle dériver, ainsi qu’un exemple de rédaction type d’une question d’IPP. Pour finir, on verra même la notion d’IPP itérée.
Condition à vérifier pour faire une intégration par parties
L’intégration par parties se fait toujours sur un segment (donc, hors de question de faire une IPP sur des intégrales impropres). Pour reprendre le vocabulaire de la formule au-dessus, on se placera sur un segment \([a,b]\) (avec \(a,b \in \mathbb{R}\)). Il faut que les fonctions \(u\) et \(v\) soient de classe \(C^1\) sur ce segment. C’est la première – et la seule – condition à vérifier. Attention ! Si tu ne le fais pas, le correcteur pourra estimer que ta réponse est fausse.
N.B. : Moyen mnémotechnique pour retenir quelles fonctions doivent être de classe \(C^1\). Il s’agira toujours des fonctions qui sont à l’intérieur des crochets : \(\big[u(t).v(t)\big]^b_a\), donc \(u\) et \(v\).
Comment choisir qui sera \(u\) et qui sera \(v\) dans ton intégration par parties ?
Le moyen mnémotechnique, pas très classe mais efficace, pour retenir l’ordre des fonctions à dériver, est appelé la méthode « elle pète » (LPET). Les lettres L, P, E, T représentent respectivement les fonctions logarithmes, polynômes, exponentielles et trigonométriques. C’est l’ordre des fonctions que tu devras dériver en priorité. Ainsi, tu dériveras toujours une fonction logarithme et tu intégreras toujours une fonction trigonométrique.
Pour apprendre par cœur tes dérivées et tes primitives usuelles, tu peux lire cet article avec un tableau récapitulatif !
Rédaction type d’une intégration par parties
Une fois que tu as montré que les fonctions que tu utiliseras sont de classe \(C^1\) sur le segment \([a,b]\), tu dois dire explicitement quelle fonction tu intégreras et laquelle tu dériveras. Tu dois aussi dire quelle forme prendront la primitive de la première que tu as choisie et la dérivée de la seconde.
Pour cela, si par exemple tu veux faire une intégration par parties sur l’intégrale \( \displaystyle \int_{0}^{1}t.e^{t} \, \mathrm{d}t\), tu écriras la phrase suivante :
Les fonctions \( x \mapsto e^{x}\) et \(x \mapsto x\) étant de classe \(C^1\) sur le segment \([0,1]\), en faisant une intégration par parties [en toutes lettres] où
– on intègre \(u’ : x \mapsto e^{x}\) en \( u : x \mapsto e^{x}\) et
– on dérive \(v : x \mapsto x\) en \(v’ : x \mapsto 1\), on a :
\[ \begin{align} \displaystyle \int_{0}^{1}t.e^{t} \, \mathrm{d}t\ &= \big[x.e^t\big]^1_0 – \displaystyle \int_{0}^{1}1.e^{t} \, \mathrm{d}t\ \\
&= 1.e^{1}-0.e^{0} – \displaystyle \int_{0}^{1}e^{t} \, \mathrm{d}t\ \\
&= e – \displaystyle \int_{0}^{1}e^{t} \, \mathrm{d}t\ \\
&= e- (e^{1}-e^{0}) \\
&= e-e+1 \\
&=1
\end{align} \].
Ainsi, on a :
\[\fbox{\(\displaystyle \int_{0}^{1}t.e^{t} \, \mathrm{d}t = 1\)}\]
Les écueils à éviter
- Ne pas écrire que \(u\) et \(v\) sont de classe \(C^1\). Tu pourrais perdre tous les points de la question juste à cause de ça !
- Écrire la rédaction de cette façon (on reprend l’exemple) :
Les fonctions \(u\) et \(v\) étant de classe \(C^1\) sur le segment \([a,b]\), en faisant une intégration par parties avec :
\(v(x)=x\), \(v'(x)=1\) et
\(u'(x)=e^{x}\), \( u(x)=e^{x}\).
Pourquoi cette rédaction ne convient pas, alors même que 90 % des profs de prépa la rédigent ainsi par pure simplicité, voire flemme (étonnant d’ailleurs !) ? À ton avis ?
Ce n’est pas du tout rigoureux ! Il n’y a aucun quantificateur mathématique et les fonctions \(u\) et \(v\) n’ont pas été définies. Ces phrases ne veulent donc rien dire !
À la limite, il faudrait les écrire comme cela :
\(\forall x \in [0,1], v(x)=x\), \(\forall x \in [0,1], v'(x)=1\) et
\(\forall x \in [0,1], u'(x)=e^{x}\), \(\forall x \in [0,1], u(x)=e^{x}\).
Mais ça devient tout de suite plus long et fastidieux comparé à la rédaction que l’on te propose qui est beaucoup plus élégante.
La notion d’intégration par parties itérée
C’est une extension de l’IPP, appliquée au principe de récurrence. Dans une IPP itérée, l’idée est d’établir une relation de récurrence entre une intégrale et une autre, que tu obtiens par IPP. Ainsi, tu obtiendras une expression plus explicite de la suite d’intégrales.
Ce type d’exercices est une tarte à la crème aux concours en ECG (et auparavant, en ECE comme en ECS). Tu le retrouveras dans la partie 1 du problème 1 de l’épreuve Maths ECS EML 2018, ainsi que dans la partie 3 du problème HEC ECE 2011.
Je t’invite à essayer de répondre à la question 13 du problème dans l’épreuve HEC ECE 2011, si tu te sens déjà à l’aise avec les intégrations par parties. (Astuce : pour la 13°b-, tu peux d’abord itérer la relation de récurrence obtenue en 13°a-, pour une puissance \(k\) avec \(k \in [0,n]\), effectuer une montée finie de la relation itérée sur \([0,n]\), puis conclure en posant en particulier \(k=n\)).
Voilà à quoi ressemble la formule d’intégration par parties qui peut faire peur au premier abord :
Soit \(n \in \mathbb N^* \)
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions de classe \(C^n\) sur \([a,b]\)
\(\displaystyle \int_{a}^b f^{(n)}(t)g(t)dt=\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k \big[f^{(n-k-1)}(t)g^{(k)}(t)\big]^b_a+(-1)^n \int_a^b f(t)g^{(n)}(t)dt\)
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