Lors de l’étude de la nature d’une série, il peut être intéressant d’avoir en tête certains critères hors programme, dont les démonstrations peuvent aussi faire l’objet d’exercices, à l’EDHEC et à l’emlyon comme aux Parisiennes. Dans cet article, nous étudierons donc les séries de Bertrand, qui permettent de traiter de nombreux cas de convergence au concours, ainsi que le critère d’Alembert.
Tu peux retrouver les notions ainsi que les théorèmes de base concernant les séries dans cet article.
Les séries de Bertrand
On appelle « séries de Bertrand », les séries de la forme \( \displaystyle \sum_{n\in \mathbb{N}^{*}}\frac{1}{n^{\alpha}\ln(n)^{\beta}}\), où \(\alpha\) et \(\beta\) sont des réels. Une telle série converge si et seulement si \(\alpha>1\) ou \((\alpha = 1 \) et \(\beta >1\)).
S’il est intéressant de connaître ce résultat, maîtriser sa démonstration permet d’étudier la nature de nombreuses séries.
Démonstration
– Premier cas : \(\alpha>1\) et \(\beta \in \mathbb{R}\).
On pose \(\displaystyle\epsilon=\frac{\alpha+1}{2}\), alors \(\displaystyle \frac{1}{n^{\alpha}\ln(n)^{\beta}}\underset{+\infty}{=} o\Bigg(\frac{1}{n^{\epsilon}}\Bigg)\).
Or, comme \(\epsilon>1\), on sait, par critère de Riemann, que la série \( \displaystyle \sum_{n\in \mathbb{N}^{*}}\frac{1}{n^{\epsilon}}\) converge, et alors, par critère de comparaison de séries à termes positifs, la série \( \displaystyle \sum_{n\in \mathbb{N}^{*}}\frac{1}{n^{\alpha}\ln(n)^{\beta}}\) converge.
– Deuxième cas : \(\alpha = 1 \) et \(\beta \in\mathbb{R}\).
On introduit la fonction \( \displaystyle f:x\in\mathbb{R}_{+}^{*}\longmapsto\frac{1}{x\ln(x)^{\beta}}\).
Cette fonction est positive, décroissante sur \(\mathbb{R}_{+}^{*}\), donc le théorème de comparaison série-intégrale assure que la série \( \displaystyle \sum_{n\in \mathbb{N}^{*}}\frac{1}{n\ln(n)^{\beta}}\) est de même nature que l’intégrale \( \displaystyle \int_{2}^{+\infty}\frac{1}{x\ln(x)^{\beta}} \,dx \).
En posant le changement de variable bijectif, donc licite \(u=ln(x)\) (avec \(du=\frac{1}{x}dx\)), on obtient que \(\displaystyle \int_{2}^{+\infty}\frac{1}{x\ln(x)^{\beta}} \,dx =\int_{\ln(2)}^{+\infty}\frac{1}{u^{\beta}}\,du\).
Enfin, le critère de Riemann pour les intégrales nous assure que cette intégrale converge si et seulement si \(\beta>1\) et donc, la série \( \displaystyle \sum_{n\in \mathbb{N}^{*}}\frac{1}{n\ln(n)^{\beta}}\) converge si et seulement si \(\beta>1\).
– Troisième cas : \(\alpha<1\) et \(\beta \in \mathbb{R}\).
Un coup de croissance comparée nous assure que \(\displaystyle \frac{1}{n} =o\Bigg(\frac{1}{n^{\alpha}\ln(n)^{\beta}}\Bigg)\).
Or, la série harmonique diverge.
Donc, par comparaison de séries à termes positifs, on sait que la série \( \displaystyle \sum_{n\in \mathbb{N}^{*}}\frac{1}{n^{\alpha}\ln(n)^{\beta}}\) diverge.
Le critère d’Alembert
Soit \((u_{n})_{n \in \mathbb{N}}\) une suite réelle à termes strictement positifs, telle que \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{u_{n+1}}{u_{n}} = \ell\) où \(\ell\in\mathbb{R}\cup\{+\infty\}\).
• Si \(\ell>1\), alors la série \(\sum u_{n}\) diverge.
• Si \(\ell<1\), alors la série \( \sum u_{n}\) converge.
Ici aussi, c’est une propriété hors programme assez classique dont la démonstration peut être demandée.
Démonstration
On considère ici une suite \(u\) à termes strictement positifs qui commence au terme \(u_{0}\), mais le résultat reste vrai pour n’importe quelle suite à termes strictement positifs.
– Premier cas : \(\ell>1\).
En langage mathématique, \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{u_{n+1}}{u_{n}} = \ell\) se traduit par \(\displaystyle \forall \epsilon \in \mathbb{R}_{+}^{*}, \exists n_{0} \in \mathbb{N}, \forall n\geq n_{0}, \Bigg| \frac{u_{n+1}}{u_{n}} – \ell \Bigg| \leq \epsilon \),
donc \(\displaystyle \forall \epsilon \in \mathbb{R}_{+}^{*}, \exists n_{0} \in \mathbb{N}, \forall n\geq n_{0}, \ell-\epsilon \leq \frac{u_{n+1}}{u_{n}} \leq \ell +\epsilon\),
donc en fixant \(\epsilon\) dans \(\mathbb{R}_{+}^{*}\) tel que \( \ell – \epsilon > 0\), on a \(\displaystyle \ell – \epsilon < \frac{u_{n+1}}{u_{n}}\),
donc \(\displaystyle \exists n_{0} \in \mathbb{N}, \forall n\geq n_{0}, 0<u_{n} \leq u_{n+1}\),
donc \(\displaystyle \exists n_{0} \in \mathbb{N}, \forall n\geq n_{0}, 0<u_{n_{0}}\leq u_{n+1}\),
donc la suite \(u\) ne converge par vers 0,
donc la série \( \sum u_{n}\) diverge grossièrement.
– Deuxième cas : \(\ell<1\).
En langage mathématique, \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{u_{n+1}}{u_{n}} = \ell\) se traduit par \(\displaystyle \forall \epsilon \in \mathbb{R}_{+}^{*}, \exists n_{0} \in \mathbb{N}, \forall n\geq n_{0}, \Bigg| \frac{u_{n+1}}{u_{n}} – \ell \Bigg| \leq \epsilon \),
donc \(\displaystyle \forall \epsilon \in \mathbb{R}_{+}^{*}, \exists n_{0} \in \mathbb{N}, \forall n\geq n_{0}, \ell-\epsilon \leq \frac{u_{n+1}}{u_{n}} \leq \ell +\epsilon\),
donc \(\exists \epsilon \in \mathbb{R}_{+}^{*}, \ell + \epsilon < 1\), et \( \displaystyle \ell – \epsilon \leq \frac{u_{n+1}}{u_{n}}\leq \ell +\epsilon \),
donc \(\exists \epsilon \in \mathbb{R}_{+}^{*}, \ell + \epsilon < 1\), et \( \displaystyle (\ell – \epsilon)u_{n} \leq u_{n+1} \leq (\ell +\epsilon)u_{n} \) car \(u\) est positive.
En notant \(q=\ell+\epsilon\), \(q\in ]0,1[\), on montre par récurrence que \(\forall n\geq n_{0}, 0<u_{n} \leq u_{0}q^{n} \).
On reconnaît alors une série géométrique de raison \(q \in ]-1,1[\) multiplié par une constante ( \(u_{0}\)),
donc la série \( \sum u_{0}q^{n}\) converge.
Finalement, le théorème de comparaison des séries à termes positifs nous assure que la série \( \sum u_{n}\) converge.
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