Le programme présentant des centaines de propriétés et théorèmes, on ne sait jamais quelles démonstrations de cours peuvent être utiles pour le concours. Dans cette série d’articles, nous allons faire le tour de toutes les démonstrations intéressantes à connaître pour le concours : celles qui sont demandées ou dont la méthode de démonstration est importante.
On se retrouve donc pour le deuxième article de cette série. Si tu as raté le premier, tu peux le consulter ici.
Inégalité de Taylor-Lagrange
Proposition
Soient \(n \in \mathbb N\) et \((a,b) \in \mathbb R^2\).
Soit \(f\) une fonction de classe \(\mathscr{C}^{n+1}\) sur \([a,b]\), on pose \(M=\sup _{t \in[a,b]}\left|f^{(n+1)}(t)\right|\). Alors, on a :
\[
\forall x \in [a,b], \;\left|f(x)-\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k !}(x-a)^k\right| \leq M \frac{|x-a|^{n+1}}{(n+1) !}
\]
Démonstration
On remarque d’abord que toutes les fonctions considérées dans la démonstration sont intégrables, car continues sur les intervalles considérés.
La fonction \(f\) de classe \(\mathscr{C}^{n+1}\) sur \([a,b]\), donc par Taylor reste intégral, on a :
\[\forall x \in [a,b], \; f(x)=f(a)+f^{\prime}(a)(x-a)+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n !}(x-a)^n\\\quad\quad\quad\quad\quad\quad+\int_a^x \frac{(x-t)^n}{n !} f^{(n+1)}(t) \mathrm{d} t
\]
Donc, on peut réécrire cette égalité et obtenir :
\[\forall x \in [a,b], \; f(x)-\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k !}(x-a)^k=\int_a^x \frac{(x-t)^n}{n !} f^{(n+1)}(t) \mathrm{d}t\]
Et en passant à la valeur absolue, on a :
\[
\forall x \in [a,b], \;\left|f(x)-\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k !}(x-a)^k\right|=\left|\int_a^x \frac{(x-t)^n}{n !} f^{(n+1)}(t) \mathrm{d}t\right|
\]
Si \(a<x\), les propriétés sur la valeur absolue donnent :
\[\frac{(x-t)^n}{n !} f^{(n+1)}(t) \leq \left|\frac{(x-t)^n}{n !}f^{(n+1)}(t)\right| \]
On déduit par croissance de l’intégration, les bornes étant dans l’ordre croissant, que
\[\left|\int_a^x \frac{(x-t)^n}{n !} f^{(n+1)}(t) \mathrm{d}t\right| \leq \int_a^x \frac{(x-t)^n}{n !}\left|f^{(n+1)}(t)\right| \mathrm{d}t
\]
Or, on sait que pour tout réel \(t \in[a, x]\), on a \(\left|f^{(n+1)}(t)\right| \leq M\), ce qui donne, par produit, \(\frac{(x-t)^n}{n !}\) étant positif car \(t \in[a, x]\),
\[
\frac{(x-t)^n}{n !}\left|f^{(n+1)}(t)\right| \leq \frac{(x-t)^n}{n !} M
\]
Donc, par croissance de l’intégration, les bornes étant dans l’ordre croissant, on a :
\[
\begin{aligned}
\int_a^x \frac{(x-t)^n}{n !}\left|f^{(n+1)}(t)\right| \mathrm{d}t & \leq \int_a^x \frac{(x-t)^n}{n !} M\mathrm{d}t \\
& \leq \frac{M}{n!} \left[-\frac{(x-t)^{n+1}}{n+1}\right]_a^x\\
& \leq M \frac{(x-a)^{n+1}}{(n+1) !}
\end{aligned}\]
Si \(a>x\), on a :
\[\left|\int_a^x \frac{(x-t)^n}{n !} f^{(n+1)}(t) \mathrm{d}t\right| =\left|\int_x^a \frac{(x-t)^n}{n !} f^{(n+1)}(t) \mathrm{d}t\right| \]
Donc, toujours par croissance de l’intégration, les bornes étant désormais dans l’ordre croissant : \[
\begin{aligned}
\left|\int_a^x \frac{(x-t)^n}{n !} f^{(n+1)}(t) \mathrm{d}t\right| & =\left|\int_x^a \frac{(x-t)^n}{n !} f^{(n+1)}(t) \mathrm{d}t\right| \\
& \leq \int_x^a \frac{(t-x)^n}{n !}\left|f^{(n+1)}(t)\right| \mathrm{d}t \\
& \leq M \int_x^a \frac{(t-x)^n}{n !} \mathrm{d}t=M \frac{(a-x)^{n+1}}{(n+1) !}
\end{aligned}
\]
Ainsi, \[\fbox{\(
\forall x \in [a,b], \;\left|f(x)-\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k !}(x-a)^k\right| \leq M \frac{|x-a|^{n+1}}{(n+1) !}
\)}\]
Inégalité de Markov
Proposition
Soit \(X\) une variable aléatoire discrète positive admettant une espérance. On a :
\[
\forall a \in \mathbb{R}_+^*, \;\mathbb{P}(X \geq a) \leq \frac{\mathbb{E}(X)}{a}
\]
Démonstration
\(X\) admet une espérance, on a donc par définition :
\[
\begin{aligned}
\mathbb{E}(X) & =\sum_{x \in X(\Omega)} x \mathbb{P}\left(X=x\right) \\
& =\sum_{\underset{x<a}{x \in X(\Omega)}}x \mathbb{P}\left(X=x\right)+\sum_{{\underset{x\geq a}{x \in X(\Omega)} }}x \mathbb{P}\left(X=x\right)
\end{aligned}
\]
Et si \(a<x\), on a alors par positivité de \(\mathbb{P}\), \[a \mathbb{P}\left(X=x\right) \leq x \mathbb{P}\left(X=x\right)\] donc :
\[
\begin{aligned}
\sum_{{\underset{x\geq a}{x \in X(\Omega)} }}x \mathbb{P}\left(X=x\right)
& \geq a \sum_{{\underset{x\geq a}{x \in X(\Omega)} }} \mathbb{P}\left(X=x\right) \\
& \geq a \mathbb{P}(X \geq a)
\end{aligned}\]
et de plus, \[\sum_{{\underset{x< a}{x \in X(\Omega)} }}x \mathbb{P}\left(X=x\right) \geq 0 \] donc on en déduit que :
\[
\begin{aligned}
\mathbb{E}(X) =
\sum_{\underset{x<a}{x \in X(\Omega)}}x \mathbb{P}\left(X=x\right)+\sum_{{\underset{x\geq a}{x \in X(\Omega)} }}x \mathbb{P}\left(X=x\right)
\geq a \mathbb{P}(X \geq a)
\end{aligned}
\]
Alors, en divisant par \(a\) qui est strictement positif, on a :
\[\fbox{\(
\forall a \in \mathbb{R}_+^*, \;\mathbb{P}(X \geq a) \leq \frac{\mathbb{E}(X)}{a}
\)}\]
Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
Proposition
Soit \(X\) une variable aléatoire discrète admettant un moment d’ordre 2. On a :
\[
\forall \varepsilon>0, \; \mathbb{P}(|X-\mathbb{E}(X)| \geq \varepsilon) \leq \frac{\mathbb{V}(X)}{\varepsilon^2}
\]
Démonstration
La variable aléatoire \(|X-\mathbb{E}(X)|^2=|X^2-2X\mathbb{E}(X)+\mathbb{E}(X)^2|\) admet une espérance, car \(X\) admet un moment d’ordre 2 par hypothèses. De plus, si \(\varepsilon\) est un réel strictement positif, alors comme la fonction \(x\mapsto x^2\) réalise une bijection croissante de \(\mathbb{R}_+\) dans \(\mathbb{R}_+\), on a :
\[
\mathbb{P}(|X-\mathbb{E}(X)| \geq \varepsilon)=\mathbb{P}\left((X-\mathbb{E}(X))^2 \geq \varepsilon^2\right)
\]
Et alors, par l’inégalité de Markov appliquée à la variable aléatoire \(|X-\mathbb{E}(X)|^2\) qui est positive et admet une espérance, on a :
\[
\mathbb{P}(|X-\mathbb{E}(X)|^2 \geq \varepsilon^2) \leq \frac{\mathbb{E}\left((X-\mathbb{E}(X))^2\right)}{\varepsilon^2}
\]
Donc :
\[
\mathbb{P}(|X-\mathbb{E}(X)| \geq \varepsilon) \leq \frac{\mathbb{E}\left((X-\mathbb{E}(X))^2\right)}{\varepsilon^2}
\]
et par König-Huygens, on sait que :
\[\frac{\mathbb{E}\left((X-\mathbb{E}(X))^2\right)}{\varepsilon^2}=\frac{\mathbb{V}(X)}{\varepsilon^2} \]
et alors, on a bien :
\[\fbox{$
\forall \varepsilon>0, \; \mathbb{P}(|X-\mathbb{E}(X)| \geq \varepsilon) \leq \frac{\mathbb{V}(X)}{\varepsilon^2}
$}\]
Voilà pour le deuxième article de démonstrations de cours importantes. En attendant le prochain, n’hésite pas à lire nos autres articles !
