Le programme présentant des centaines de propriétés et théorèmes, on ne sait jamais quelles démonstrations de cours peuvent être utiles pour le concours. Dans cette série d’articles, nous allons faire le tour de toutes les démonstrations intéressantes à connaître pour le concours : celles qui sont demandées ou dont la méthode de démonstration est importante.
On se retrouve donc pour le troisième et dernier article de cette série. Si tu as raté les deux premiers articles, tu peux les consulter ici : #1 et #2.
Lien entre polynôme, endomorphisme et valeur propre
Proposition
Soit \(E\) un espace vectoriel, \(f \in \mathscr{L}(E)\), \(\lambda \in \mathbb{R}\) et \(Q \in \mathbb{R}[X]\). Si \(x \in E_{\lambda}(f)\), alors \(Q(f)(x)=Q(\lambda)x\).
Démonstration
Soit \(x \in E_{\lambda}(f)\).
Si \(Q=0\), alors on a bien \(Q(f)(x)=0=Q(\lambda)x\).
Si \(Q\neq 0\), alors en notant \(q\) le degré de \(Q\), on a \(\displaystyle Q=\sum_{k=0}^q a_iX^i\) et alors, comme \(f(x)=\lambda x\), on montre par récurrence, en utilisant la linéarité de \(f\) que :
\[\forall i \in \mathbb{N}, \; f^i(x)=\lambda^ix\]
et alors, on a :
\[\begin{aligned}
Q(f)(x)& = \sum_{k=0}^qa_if^i(x) \\
& = \sum_{k=0}^qa_i\lambda^ix \\
& = x \sum_{k=0}^qa_i\lambda^i \\
& = Q(\lambda)x
\end{aligned}\]
Ainsi, on a bien montré que :
\[\fbox{si \(x \in E_{\lambda}(f)\), alors \(Q(f)(x)=Q(\lambda)x\).}\]
Inégalité de Cauchy-Schwarz
Proposition
Soit \(\varphi\) une forme bilinéaire, symétrique et définie positive sur \(E^2\). On a :
\[
\forall (x, y) \in E^2, \;|\varphi(x, y)| \leq \sqrt{\varphi(x, x)} \sqrt{\varphi(y, y)}
\]
et qu’il y a égalité si et seulement si \(x\) et \(y\) sont colinéaires.
Démonstration
Soit \((x, y) \in E^2\). On pose la fonction polynomiale \(P: t\in \mathbb{R} \mapsto \varphi(x+t y, x+t y)\). Soit \(t \in \mathbb{R}\), par bilinéarité de \(\varphi\), on a :
\[
\begin{aligned}
P(t) & = \varphi(x+t y, x+t y) \\
& = \varphi(x, x)+t \varphi(x, y)+t \varphi(y, x)+t^2 \varphi(y, y)
\end{aligned}
\]
et par symétrie de \(\varphi\), on a
\[
P(t)=\varphi(x, x)+2 t \varphi(x, y)+t^2 \varphi(y, y) .
\]
Or, \(\varphi\) est positive, donc on a :
\[P(t)=\varphi(x+ty,x+ty)\geq 0\]
De plus, si \(\varphi(y, y)=0\), alors \(y=0\), donc \(\varphi(x, y)=0\) et alors, on a bien :
\[|\varphi(x, y)| \leq \sqrt{\varphi(x, x)} \sqrt{\varphi(y, y)}
\]
Si \(\varphi(y, y) \neq 0\), alors \(P\) est un trinôme du second degré. Or, on a montré que \(P\) est une fonction positive sur \(\mathbb{R}\), donc son discriminant est négatif ou nul, or :
\[
\begin{aligned}
\Delta & = 4 \varphi(x, y)^2-4 \varphi(x, x) \varphi(y, y)\\
\end{aligned}
\]
Donc : \[
\begin{aligned}
4 \varphi(x, y)^2-4 \varphi(x, x) \varphi(y, y)\leq 0 &
\Leftrightarrow \varphi(x, y)^2 \leq \varphi(x, x) \varphi(y, y) \\
&\Leftrightarrow|\varphi(x, y)| \leq \sqrt{\varphi(x, x)} \sqrt{\varphi(y, y)}
\end{aligned}\]
Le cas d’égalité est atteint lorsque \(\Delta=0\), soit lorsque \(\varphi(y, y)=0\), soit donc \(y=0\).
Si \(\Delta=0\), alors il existe \(t \in \mathbb{R}\) tel que :
\[
P(t)=\varphi(x+t y, x+t y)=0 \] et alors, comme \(\varphi\) est définie, on a \[P(t)=0 \Rightarrow x+t y=0 \Rightarrow x=-t y
\]
Donc, les vecteurs \(x\) et \(y\) sont colinéaires.
Réciproquement, on suppose que \(x\) et \(y\) sont colinéaires, alors il existe \(\lambda \in \mathbb{R}\) tel que \(y=\lambda x\), et donc :
\[
\begin{aligned}
|\varphi(x, y)| & = |\varphi(x, \lambda x)| \\
& = |\lambda| \varphi(x, x) \\
& = |\lambda| \sqrt{\varphi(x, x)} \times \sqrt{\varphi(x, x)}\\
& =\sqrt{\lambda^2 \varphi(x, x)} \sqrt{\varphi(x, x)} \\
& =\sqrt{\varphi(\lambda x, \lambda x)} \sqrt{\varphi(x, x)} \\
& =\sqrt{\varphi(y, y)} \sqrt{\varphi(x, x)}
\end{aligned}
\]
D’où l’égalité dans le cas où \(x\) et \(y\) sont colinéaires.
Ainsi,
\[\fbox{\(
\forall (x, y) \in E^2, \;|\varphi(x, y)| \leq \sqrt{\varphi(x, x)} \sqrt{\varphi(y, y)}
\;\)
}\]
et il y a égalité si et seulement si \(x\) et \(y\) sont colinéaires.
Stabilité de l’orthogonal pour les endomorphismes symétriques
Proposition
Soit \(f\) un endomorphisme symétrique de \(E\) et soit \(F\) un sous-espace vectoriel de \(E\) stable par \(f\).
Alors, \(F^{\perp}\) est un sous-espace vectoriel stable par \(f\).
Démonstration
Soit \(x \in F^{\perp}\) et \(y \in F\), alors par symétrie de \(f\), on a :
\[
\begin{aligned}
\langle y, f(x)\rangle & =\langle f(y), x\rangle \\
& = 0 \quad \text{car $f(y)\in F$ et $x\in F^{\perp}$ par hypothèse}
\end{aligned}
\]
Ainsi, \(f(x) \in F^{\perp}\) et donc \(F^{\perp}\) est stable par \(f\).
Ainsi, \[\fbox{\(F^{\perp}\) est un sous-espace vectoriel stable par \(f\).}\]
Stabilité de l’orthogonal pour les endomorphismes symétriques
Proposition
Soit \(f\) un endomorphisme symétrique de \(E\), \(\lambda_1, \ldots, \lambda_p\) des valeurs propres deux-à-deux distinctes de \(f\). Alors, les sous-espaces propres \(E_{\lambda_1}(f), \ldots, E_{\lambda_p}(f)\) sont deux-à-deux orthogonaux.
Démonstration
Soit \((i,j) \in [\![1,p]\!]^2\) tels que \(i\neq j\). Soit \(x \in E_{\lambda_i}(f)\) et \(y \in E_{\lambda_j}(f)\).
Si \(x=0\) ou \(y=0\), alors on a \(\langle x, y\rangle=0\).
Supposons que \(x\neq 0\) et \(y \neq 0\), alors on a :
\[\left\langle x, f\left(y\right)\right\rangle =\lambda_j\left\langle x, y\right\rangle \]
et par symétrie de \(f\), on a : \[
\left\langle x, f\left(y\right)\right\rangle =\left\langle f\left(x\right), y\right\rangle=\lambda_i\left\langle x, y\right\rangle
\]
Donc : \[\left(\lambda_i-\lambda_j\right)\left\langle x, x\right\rangle=0\]
Or, on a par hypothèses \( \lambda_i \neq \lambda_j \), donc \[\left\langle x, y\right\rangle=0\]
Ainsi, \[\fbox{les sous-espaces propres \(E_{\lambda_1}(f), \ldots, E_{\lambda_p}(f)\) sont deux-à-deux orthogonaux.}\]
Voilà pour la série d’articles sur les démonstrations de cours importantes. Je te conseille de les réviser régulièrement, afin de les avoir en tête le jour du concours et de connaître ainsi de nombreuses méthodes utiles pour les différentes épreuves. N’hésite pas à lire nos autres articles !
