Hello ! Je te propose dans cet article de te pencher sur une notion hors programme. Elle peut notamment faire l’objet d’exercices à l’oral ou se retrouver dans des sujets de Parisiennes. Alors, focus sur les endomorphismes antisymétriques !
Symétrique, antisymétrique
A priori, un endomorphisme symétrique, ça te parle. Savoir cela te permet de connaître plein de choses sur ses valeurs propres et sur sa représentation matricielle.
De la même façon, savoir qu’un endomorphisme est antisymétrique te donne plein d’informations sur lui. Et c’est ce que nous allons voir maintenant.
Définition
Soit \(E\) un espace euclidien. Soit \(u \in E\).
On dit que \(u\) est un endomorphisme antisymétrique si \(\forall (x,y)\in E^2, \langle u(x),y\rangle =- \langle x,u(y) \rangle\).
Quelques propriétés et idées de démonstration
Voici une liste de propriétés des endomorphismes antisymétriques que tu peux chercher à démontrer. Je te mets des pistes, ce sont des bons entraînements.
- L’ensemble des endomorphismes antisymétriques est un sous-espace vectoriel (et c’est l’occasion de refaire une jolie démonstration en trois points). On le note \(\mathcal{A}(E)\).
- \(u\) est antisymétrique (1) \(\Leftrightarrow\) \(\forall x \in E, u(x)\) est orthogonal à \(x\) (2).
On raisonne par double implication.
Pour montrer que (1) \(\Rightarrow\) (2), on s’appuiera sur la définition d’un endomorphisme antisymétrique en l’appliquant à \(x\) et \(x\), puis on se rappellera les propriétés du produit scalaire.
Pour montrer que (2) \(\Rightarrow\) (1), puisque \(\forall (x,y) \in E^2, x+y \in E\), alors on s’appuiera sur le fait que \(\langle u(x+y), x+y \rangle =0\).
- Seul \(0\) peut être valeur propre de \(u\).
On suppose que \(u\) admet une valeur propre que l’on note \(\lambda\) et on pose \(x\) un vecteur propre associé. On regarde alors ce que l’on peut en déduire sur \(\lambda\). Attention, on n’oubliera pas de montrer la réciproque (surtout qu’elle ne te prendra que quelques secondes) !
- Soit \(A\) la matrice de \(u\) dans une base orthonormale. Alors : \(A=- {}^tA\).
La démonstration est un peu plus longue. Appuie-toi sur les vecteurs de la base canonique.
- Soit \(\mathcal{L}(E)\) l’ensemble des endomorphismes de E et \(\mathcal{S}(E)\) l’ensemble des endomorphismes symétriques de E. Alors : \(\mathcal{L}(E) =\) \(\mathcal{S}(E)\) \(\oplus\) \(\mathcal{A}(E)\).
En posant \(n\) la dimension de E, tu peux même trouver les dimensions de \(\mathcal{S}(E)\) et de \(\mathcal{A}(E)\).
- Soit \(F\) un sous-espace vectoriel de \(E\). Si \(F\) est stable par u, alors \(F^\perp\) est stable par u.
On étudie un élément quelconque de \(F^\perp\).
- Il existe une base orthonormale de \(E\) dans laquelle \(u\) est diagonalisable par bloc du type \(\lambda_iJ\) avec \(J=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}\).
Cette démonstration est difficile et fait appel à une récurrence. Il faut t’appuyer sur les dimensions et utiliser le théorème de la base incomplète.
Les sujets de concours avec la notion d’endomorphisme antisymétrique
Cette notion classique s’est retrouvée dans plusieurs annales de concours.
Tu pourras trouver les corrections de ces propriétés en cherchant dans ces ressources.
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