Aujourd’hui, on se retrouve avec quelques petites astuces et méthodes classiques à connaître quand on parle d’espérance. Que l’on traite des variables discrètes ou à densité, il y a toujours quelques techniques à avoir. Savoir manipuler l’espérance d’une variable aléatoire X est souvent demandé dans les sujets de concours. Voici quelques méthodes et exemples d’applications qui pourront t’être utiles. Mais avant de lire cet article, assure-toi de bien connaître toutes les propriétés de l’espérance.
Une autre expression de E(X)
Soit \(X\) une variable aléatoire à valeurs dans \([\![0,n]\!]\)
Montrons que :
\[ E(X) = \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} P(X > k) \]
\(X\) est une variable discrète finie, donc elle admet une espérance : \(E(X)\) existe bien.
\(\forall k \in \mathbb{N}^{*},
E(X) = \displaystyle \sum_{k=0}^{n} kP(X = k) = \displaystyle \sum_{k=1}^{n} k[P(X > k-1) – P(X > k)] \) (le terme en k=0 étant nul).
En développant, nous avons :
\(
\begin{align} E(X) &= \displaystyle \sum_{k=1}^{n} kP(X > k-1) – \displaystyle \sum_{k=1}^{n} kP(X > k) \\
&=\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} (k+1)P(X > k) – \displaystyle \sum_{k=1}^{n} kP(X > k) \\
&=\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} kP(X > k) +\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} P(X > k) – \displaystyle \sum_{k=1}^{n} kP(X > k) \\
&=\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} P(X > k) – nP(X>n) \end{align} \)
(il ne reste que le terme en k=0 qui vaut 0 et en n)
Or, \(nP(X>n)\) vaut 0 car \(X(\Omega) \subset [\![0,n]\!]\)
Donc, finalement, \(E(X) = \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} P(X > k) \)
On suppose maintenant que \(X\) prend ses valeurs dans \(\mathbb{N}\) et qu’elle admet une espérance
Montrons que :
\[ E(X) = \displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty} P(X > k) \]
On a \(X(\Omega) = \mathbb{N}. \forall n \in \mathbb{N}^{*}\), reprenons l’expression :
\(\displaystyle \sum_{k=0}^{n} kP(X = k) = \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} P(X > k) – nP(X>n)\)
Déterminons \(\lim \limits_{n \to +\infty} nP(X>n)\).
On peut écrire l’inégalité :
\(0 \le nP(X>n) = n \displaystyle \sum_{k=n+1}^{+\infty} P(X = k) \le \displaystyle \sum_{k=n+1}^{+\infty} kP(X = k)\)
Ce dernier terme tend vers 0 lorsque \(n\) tend vers l’infini, comme reste de la série convergente définissant \(E(X)\). Ainsi, lorsque \(n\) tend vers l’infini, \(\lim \limits_{n \to +\infty} nP(X>n) =0\) et donc \(E(X) = \displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty} P(X > k)\)
Une autre expression de E(X^2)
\(X\) est une variable aléatoire à valeurs dans \(\mathbb{N}\)
Montrons que si \(X\) admet un moment d’ordre 2, alors :
\[ E(X^{2}) = \displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty} (2k+1)P(X > k) \]
\(\forall n \in \mathbb{N}^{*}\), on a :
\(
\begin{align} E(X^{2}) &= \displaystyle \sum_{k=0}^{n} k^{2}P(X > k)\\
&=\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^{2}[P(X > k-1) – P(X > k)] \\
&=\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} (k+1)^{2}P(X > k) – \displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^{2}P(X > k) \\
&=\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} k^{2}P(X > k) +\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} (2k+1)P(X > k) – \displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^{2}P(X > k) \\
&= \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} (2k+1)P(X > k) – n^{2}P(X>n) \end{align} \)
(il ne reste que le terme en k=0 qui vaut 0 et en n)
On a : \(0 \le n^{2}P(X>n) = n^{2}\displaystyle \sum_{k=n+1}^{+\infty} P(X = k) \le \displaystyle \sum_{k=n+1}^{+\infty} k^{2}P(X = k)\)
Or, ce dernier terme tend vers 0 lorsque \(n\) tend vers l’infini, comme reste de la série convergente définissant \(E(X)\). Ainsi, lorsque \(n\) tend vers l’infini, \(\lim \limits_{n \to +\infty} n^{2}P(X>n) =0\)
Et donc
\(E(X^{2}) = \displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty} (2k+1)P(X > k)\)
Des expressions utiles en probabilité
Tu te demandes comment démontrer que \(P(X=k)=P(X>k-1) – P(X>k) \) ? Au lieu d’apprendre cette expression par cœur, comprends simplement la démonstration !
Nous avons : \(P(X \ge k)=P(X=k) + P(X>k)\), c’est-à-dire \(P(X > k-1)=P(X=k) + P(X>k)\)
Donc, \(P(X=k)=P(X > k-1) – P(X>k)\)
Voici les deux formules à retenir, qui se démontrent de cette façon également :
- \(P(X=k)=P(X > k-1) – P(X>k)\)
- \(P(X=k)=P(X < k+1) – P(X < k)\)
En espérant que cet article t’aura été utile, bon courage pour les révisions !
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