Que tu sois en première ou en deuxième année de prépa, maîtriser ton cours sur les applications linéaires est essentiel, car c’est vraiment la base de l’algèbre linéaire. Major-prépa te propose donc une fiche récapitulative sur les applications linéaires.
Le nouveau programme d’ECG indique que nous travaillons désormais uniquement sur le corps \( \mathbb{R} \).
Applications linéaires : définitions
Soient \( E \) et \(F \) deux espaces vectoriels sur \( \mathbb{R} \). Soit \( f \) une application de \( E \) dans \(F \), c’est-à-dire \( f : E \to F \).
- On dit que \( f \) est une application linéaire lorsque \[ \forall (x,y) \in E^2, \forall \lambda \in \mathbb{R}, f(\lambda x +y)= \lambda f(x) + f(y) \] On note l’ensemble des applications linéaires de \( E \) dans \(F \) de la manière suivante : \( \mathcal{L}(E,F) \).
- On dit que \( f \) est un endomorphisme lorsque \( E \)=\(F \) et on note alors \( f \in \mathcal{L}(E) \).
- On dit que \( f \) est un isomorphisme lorsque \( f \in \mathcal{L}(E,F) \) et \( f \) est bijective. On note alors \( f \in \mathcal{LG}(E,F) \).
- On dit que \( f \) est une forme linéaire lorsque \( f \) est une application linéaire de \( E \) dans \( \mathbb{R} \).
On appelle noyau de \( f \), le sous-espace vectoriel de \(E \) suivant : \( \text{Ker}(f) = \{ x\in E ; f(x)=0\} \).
On appelle image de \( f \), le sous-espace vectoriel de \(F \) suivant : \( \text{Im}(f)= \{f(x) ; x\in E \} \).
Projections et symétries
Soient \( G \) et \(H \) deux sous-espaces supplémentaires de notre espace vectoriel \( E \). C’est-à-dire \( E= G\oplus H\).
- En français : tout vecteur \(x\) de \( E\) se décompose de manière unique comme la somme d’un vecteur de \(G\) et d’un vecteur de \(H\).
- Mathématiquement, ça s’écrit : \( \forall x \in E, \exists! (y, z)\in G\times H ; x=y+z\).
Projections
On note \(p\) la projection sur \( G \) parallèlement à \(H \).
- \(p\) est l’application suivante : \(p : \begin{cases} E \to G\oplus H \\ x = y + z \mapsto y \end{cases}\)
- Nous avons alors : \( \text{Im}(p)=G \) et \(\text{Ker}(p)= H \)
Symétries
On note \(s\) la symétrie par rapport à \( G \) parallèlement à \(H \).
- Un peu de vocabulaire : on dit qu’une symétrie est involutive puisque \(s^2 =id\)
- \(s\) est l’application suivante : \(p : \begin{cases} E \to G\oplus H \\ x = y + z \mapsto y-z \end{cases}\)
- Nous avons alors : \( \text{Ker}(s-id)=G \) et \(\text{Ker}(s+id)= H \)
Applications linéaires et dimension
Soient \( E \) et \(F \) deux espaces vectoriels sur \( \mathbb{R} \). Soit \( f \) une application de \( E \) dans \(F \), c’est-à-dire \( f : E \to F \).
On dit que \(f\) est de rang fini si le sous-espace vectoriel \( \text{Im}(f)\) est de dimension finie. On note alors \( \text{rg}(f)\), la dimension de \( \text{Im}(f)\).
Hyperplans
Si \(E\) est de dimension finie \(n\) non nulle, ses hyperplans sont les sous-espaces vectoriels de dimension \(n-1\). Tout hyperplan de \(E\) est le noyau d’une forme linéaire non nulle.
Soit \(n\in \mathbb{N^*}\). Soit \(\mathcal{B}=(e_i)_{1 \le i \le n}\) une base de \(E\). Un hyperplan \( H\) de \(E\) peut alors s’écrire :
\( H \) = {\(x \in E\), \(x= x_1e_1 + … + x_ne_n\) ; \(a_1x_1 + … + a_nx_n\) = \(0\)}
avec (\(a_1\times … \times a_n\)) \(\in\) \(\mathbb{R}^{n}\) \ (\(0\times … \times 0\)).
Retenons que toutes les équations d’un hyperplan sont proportionnelles.
Applications linéaires : propriétés
Soient \( E \) et \(F \) deux espaces vectoriels sur \( \mathbb{R} \). Soit \( f : E \to F \).
- Toute combinaison d’applications linéaires est linéaire. Par exemple, si \( u\) et \( v\) sont deux endomorphismes \( E \), alors \( u\circ v\) est un endomorphisme de \( E \).
- L’image directe d’un sous-espace vectoriel de \( E \) par \(f\) est un sous-espace vectoriel de \( F \).
- Si \( (x_{i})_{(i) \in I} \) est une famille génératrice de \( E \), alors \( \text{Im}(f)= vect(f(x_{i}); i\in I)\).
- L’image réciproque d’un sous-espace vectoriel de \( F \) par \(f\) est un sous-espace vectoriel de \( E \).
- On dit que l’endomorphisme \(p\in \mathcal{L}(E)\) est une projection si et seulement si \( p \circ p =p\). Cet endomorphisme est diagonalisable.
- On dit que l’endomorphisme \(s\in \mathcal{L}(E)\) est une symétrie si et seulement si \( s \circ s =id\). Dans ce cas, \(s\) est la symétrie par rapport à \(\text{Ker}(s-id)\) parallèlement à \(\text{Ker}(s+id)\).
- (\(H\) est un hyperplan de \(E\)) \( \Leftrightarrow\) (il existe une droite vectorielle de \(E\) qui est supplémentaire de \(H\)) \(\Leftrightarrow\) (\(H \ne E\) et toute droite vectorielle de \(E\) engendrée par un vecteur n’appartenant pas à \(H\) est un supplémentaire de \(H\)) \(\Leftrightarrow\) ( \(H\) est le noyau d’une forme linéaire non nulle).
Une démo utile à connaître
Démontrons la propriété ultra-classique suivante : les hyperplans sont exactement les noyaux des formes linéaires non nulles.
Soit un \(E\) un \( \mathbb{R}\)-espace vectoriel de dimension finie \(n \in \mathbb{N}^*\).
\( \fbox {\( \Rightarrow\)}\)
Soit \( \phi\) une forme linéaire sur \(E\) non nulle. C’est-à-dire : \( \phi : E \to \mathbb{R}\).
On a : \( \text{Im}(\phi) \subset \mathbb{R}\) et \(\phi\) est une forme linéaire non nulle, donc \(\text{rg}(\phi) \ne 0\), donc pour des raisons de dimension \( \text{Im}(\phi) = \mathbb{R}\).
Et nous avons ainsi établi qu’en particulier : \(\text{rg}(\phi) = \dim(\mathbb{R})=1\).
Puis, par le théorème du rang, nous obtenons la chose suivante : \( \dim(\text{ker}(\phi) = n-1) \).
Or, nous savons par le cours que le noyau de notre application linéaire qui se trouve être une forme linéaire est un sous-espace vectoriel de \(E\).
Nous pouvons alors conclure l’implication : le noyau de \(\phi\) est un hyperplan de \(\underline{E}\).
\(\fbox {\( \Leftarrow\)}\) Soit \(H\) un hyperplan de \(E\).
Première chose : nous savons que \(\text{dim}(H) = n-1 ( \text(H)) \).
On décide alors de considérer une base \( \mathcal{B’}=(e_i)_{1 \le i \le n-1}\) de \(H\) que l’on vient compléter en une base \( \mathcal{B}=(e_i)_{1 \le i \le n}\) de \(E\).
On construit ensuite notre forme linéaire \( \phi\) de la manière suivante : \( \phi : \begin{cases} \phi(e_i)=0 , \ \forall i \in [\![1,n-1]\!] \\
\phi(e_n)=1 \end{cases} \)
Il ne reste plus qu’à vérifier que tout fonctionne !
- On a bien \( \phi : E \to \mathbb{R}\) et \( \phi\) est linéaire. C’est une forme linéaire, qui plus est non nulle puisque \(\phi(e_n)=1 \) ! Ce qui signifie que \( \text{rg}(\phi)= 1 \). Et avec le théorème du rang, il vient : \( \text{dim}{ker}(\phi)=n-1 \ (*) \).
- Il nous faut montrer que \( \text{ker}(\phi)=H\) :
\( \forall x \in H, \phi (x)=0\) (il suffit de décomposer notre \(x\) dans la base \( mathcal{B’} \) et d’appliquer \( \phi \)) donc \( H \subset \text{ker}(\phi) \).
Puis, grâce à \( (*) \) et à notre hypothèse \((\text(H)) \) : \( \text{dim}{ker}(\phi)=\text{dim}(H) = n-1 \).
D’où : \(\underline{\text{ker}(\phi)=H} \).
Ce qui achève notre démonstration.
Théorèmes
Soient \( E \) et \(F \) deux espaces vectoriels sur \( \mathbb{R} \). Soit \( f : E \to F \).
- \(f\) est injective si et seulement si \( \text{Ker}(f) ={0}\). Ce théorème est très pratique, car pour démontrer qu’une application linéaire est injective, il te suffira de montrer que son noyau est réduit à \( \text{{0}} \) !
- Théorème du rang (lorsque \(E\) est de dimension finie !) : \( \dim(E) = \dim\text{Ker}(f) + \text{rg}(f)\).
- Si \( E \) et \(F \) sont de dimension finie et \(\dim(E) = \dim(F)\), alors \( f \) injective \(\Leftrightarrow f\) surjective \(\Leftrightarrow f\) bijective.
Voilà ! J’espère que cet article de Major-Prépa te permettra d’y voir plus clair sur les applications linéaires, et plus si affinités. N’hésite pas à consulter nos autres articles pour acquérir les méthodes en mathématiques afin de devenir un·e chef·fe !
