Tu souhaites avoir une fiche résumant les principales formules à retenir sur les variables discrètes ou à univers fini ? Alors, pas de doute, cet article est fait pour toi ! Tu y trouveras un résumé des formules, ce qui est très utile.
Cette fiche est divisée en deux parties. La première est sur les variables aléatoires discrètes ayant un univers image fini. Et la seconde parle du cas plus général d’un ensemble dénombrable.
Soit \(X \) une variable aléatoire définie sur \( (\Omega, \mathcal{P}
(\Omega), \mathcal{A})\).
Cas d’un univers image fini
Dans ce cas, on trouve principalement trois lois, que nous allons détailler.
Loi de Bernoulli
Soit \(p \in \mathbb{R}\).
Lorsque \( X(\Omega) = {\{0;1\}} \) et \( P(X=1)=p \), on dit que \(X \) suit une loi de Bernoulli de paramètre \(p \).
On note alors : \(X \hookrightarrow \mathcal{B}(p) \).
Espérance et variance
On a : \(E(X) = p\) et \(V(X) = p \times {q}\), où \(q = 1-p\).
Loi binomiale
Soit \(p \in \mathbb{R}\) et \(n \in \mathbb{N} \).
Lorsque \( X(\Omega) = [\![1,n]\!] \) et \(\forall k \in [\![0,n]\!], P(X=k)={{n}\choose{k}}\times {p^k} \times {(1-p)^{n-k}}\), on dit que \(X \) suit une loi binomiale de paramètre \(n, p \).
On note alors : \(X \hookrightarrow \mathcal{B}(n,p) \).
Espérance et variance
On a : \(E(X) = n \times p\) et \(V(X) = {n} \times {p} \times {q} \), où \(q = 1-p\).
N.B. : Une loi binomiale correspond à n-répétitions identiques et indépendantes d’une loi de Bernoulli. Ainsi, on a qu’une loi de Bernoulli de paramètre \(p\) est aussi une loi binomiale de paramètre \((1,p)\). Tu peux voir que les formules de l’espérance et de la variance coïncident bien, pour \(n=1\)).
Loi uniforme
Soit \((a, b) \in \mathbb{R}^2 \).
Lorsque \( X(\Omega) \subset [\![a,b]\!] \) et \( \forall k \in [\![a,b]\!], P(X=k)=\frac{1}{b-a+1}\), on dit que \(X \) suit une loi uniforme sur \([\![a,b]\!] \).
On note alors : \(X \hookrightarrow \mathcal{U}([\![a,b]\!])\).
Espérance et variance
On a : \( E(X)= \frac{a+b}{2} \) et \( V(X) = \frac{(b-a+1)^2}{12} \).
Cas plus général d’un univers image dénombrable
Dans ce cas-là, les variables sont aussi discrètes, mais elles ne prennent plus un nombre fini de valeurs. On a ici deux lois principales à connaître.
Loi géométrique
Lorsque \( X(\Omega) \in \mathbb{N^{*}}\) et \( \forall k \in \mathbb{N^{*}}, P(X=k)={q^{k-1}} \times {p} \), on dit que \(X \) suit une loi géométrique de paramètre \(p \).
On note alors : \(X \hookrightarrow \mathcal{G}(p)\).
Espérance et variance
On a : \(E(X) = \frac{1}{p}\) et \(V(X) = \frac{q}{p^{2}}\), où \(q = 1-p\).
Loi de Poisson
Soit \( \lambda \in \mathbb{R_{+}^{*}} \).
Lorsque \( X(\Omega) \in \mathbb{N}\) et \( \forall k \in \mathbb{N}, P(X=k)=\exp(-\lambda)\times {\frac{\lambda^{k}}{k!}} \), on dit que \(X \) suit une loi de Poisson de paramètre \(\lambda \).
On note alors : \(X \hookrightarrow \mathcal{P}(\lambda)\).
Remarque
On a : \(P(X=0)={\exp(-\lambda)}\), résultat très utile à connaître pour retrouver \( \lambda\).
Espérance et variance
On a : \(E(X) = \lambda\) et \(V(X) = \lambda\).
À retenir sur les variables discrètes
La fiche sur les principales formules à retenir sur les variables discrètes est terminée. Ce qui est essentiel dans ce chapitre, c’est bien sûr de connaître ces formules. Mais il faut aussi comprendre dans quel cas on a besoin d’un modèle de loi de Bernoulli par exemple. C’est-à-dire de savoir à quel type d’expérience chaque loi renvoie.
N’hésite pas à consulter toutes nos ressources en mathématiques !
