Dans cet article, je t’apprends à utiliser une formule classique du dénombrement et à la limite du programme : la formule du capitaine (aussi appelée « la formule du pion »). Tu pourras retrouver cette formule dans de nombreuses annales de maths et même dans une démonstration de ton cours. Généralement, les formules hors programme ne sont pas à apprendre et sont réservées aux personnes préparant les écoles parisiennes. Mais, ici, cette formule est classique, elle doit absolument être connue par tous les préparationnaires de première et de deuxième année. Elle ne doit pas être citée, mais il faut savoir l’utiliser, et elle n’est pas très complexe.
Rappel sur le dénombrement
Factorielles et coefficients binomiaux
Pour rappel, on définit une factorielle comme :
\( \forall n \in [\! [1,n]\!] , \ n! =\displaystyle \prod_{k=1}^{n} k = n\times(n-1)\times(n-2)\times \ … \ \times 1\)
avec par convention \( 0!=1\)
On a la relation de récurrence suivante : \( \forall n \in [\![1,n]\!], \ n!=n\times(n-1)!\)
Ainsi, on définit le coefficient binomial comme :
\( \forall k \in [\![0,n]\!] \ \text{et} \ n \in \mathbb{N}, \displaystyle {{n}\choose{k}} =\frac{n!}{k! (n-k)!} \)
On prononce \( \displaystyle {{n}\choose{k}}\) comme « k parmi n ».
Les formules à connaître
Il existe quelques formules qui sont au programme ECG et qui sont à connaître :
- \( \forall n \ge 0 ,\ \displaystyle {{n}\choose{0}} =1 \)
- \( \forall n \ge 1 ,\ \displaystyle {{n}\choose{1}} =n \)
- \( \forall n \ge 2 ,\ \displaystyle {{n}\choose{2}} = \frac{n(n-1)}{2} \)
\( \text{Mais aussi la fameuse formule de Pascal : } \ \forall (n,k)\in\mathbb{N^*}^2, k\le n, \displaystyle {{n}\choose{k}} = {{n-1}\choose{k-1}}+{{n-1}\choose{k}}\)
Si tu veux en savoir plus sur le triangle de Pascal et avoir la démonstration de la formule, tu peux cliquer ici !
La formule du pion
La formule
Maintenant que tu maîtrises les coefficients binomiaux, voici la formule du pion :
\(\forall k \in [\![1,n]\!] \ \text{et} \ n \ge 1, \ \fbox{\( \displaystyle k{{n}\choose{k}} =n{{n-1}\choose{k-1}} \)} \)
On peut aussi la présenter de la manière suivante : \(\forall k \in [\![1,n]\!] \ \text{et} \ n \ge 1, \ \fbox{\( \ \displaystyle \frac{k}{n} {{n}\choose{k}} ={{n-1}\choose{k-1}} \)} \)
Démonstration
\( \begin{align}
\forall k \in [\![1,n]\!] \ \text{et} \ n \ge 1,
\ \displaystyle k{{n}\choose{k}} &=k\times \frac{n!}{k! (n-k)!}
\\&=\frac{n!}{(k-1)! (n-k)!}
\\&= \frac{(n-1)!}{(k-1)! (n-k-1+1)!}
\\&=\frac{(n-1)!}{(k-1)! ((n-1)-(k-1))!}
\\&=n{{n-1}\choose{k-1}} \end{align} \)
Je te conseille, dans ta copie, de faire une brève démonstration (en particulier si c’est une épreuve du type Ecricome ou EMLYON/EDHEC), car cette formule n’est pas explicitement au programme. Tu ne peux que gagner des points si tu prends le temps de la faire.
Exemple d’utilisation
Un petit exercice d’utilisation :
Soit \(n \in \mathbb{N, } \ \text{calculer :}\ \displaystyle S=\sum_{k=0}^n k\binom nk \)
\( \begin{align} \text{Démonstration : } S&=\sum_{\color{red}{k=0}}^n k\binom nk \\&=\sum_{\color{red}{k=1}}^n k\binom nk \\&=\sum_{k=1}^n n{{n-1}\choose{k-1}} \quad \text {par la formule du capitaine}
\\&=n\sum_{\color{red}{k=1}}^{{\color{red}{n}}} {{n-1}\choose{k-1}}
\\&=n\sum_{\color{red}{k=0}}^{{\color{red}{n-1}}} {{n-1}\choose{k}}
\\&=n2^{n-1} \quad \text {d’après le binôme de Newton} \end{align} \)
Mais on a particulièrement besoin de cette formule pour trouver l’espérance de la loi binomiale :
Soit \(X \hookrightarrow \mathcal{B}(n,p) \text{, avec}\ n \in
\mathbb{N}\)
\( \begin{align} \text{On a :} \quad \mathbb{E}(X) &= \sum_{\color{red}{k=0}}^{n} k P(X=k) \\ &= \sum_{\color{red}{k=1}}^{n} k P(X=k) \\ &= \sum_{k=1}^{n} k \binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{n-k} \\ &= \sum_{\color{red}{k=1}}^{\color{red}{n}} n \binom{n-1}{k-1} p^{k} (1-p)^{n-k} \quad \text{par la formule du capitaine} \\ &= n \sum_{\color{red}{k=0}}^{\color{red}{n-1}} \binom{n-1}{k} p^{k+1} (1-p)^{n-1-k} \quad \text{par changement de variable} \\ &= np \sum_{k=0}^{n-1} \binom{n-1}{k} p^{k} (1-p)^{n-1-k} \quad \text{d’après le binôme de Newton}\\ &= np (p + (1-p))^{n-1} \\ &= np \\ \end{align} \)
Si tu veux voir d’autres lois de probabilité (hors programme) qui utilisent le coefficient binomial, tu peux regarder cet article sur la loi binomiale négative, cet article sur la loi de Pascal et cet article sur la loi multinomiale.
N’hésite pas à regarder nos autres ressources mathématiques, mais aussi le méga-répertoire pour t’entraîner sur les annales avec les corrigés !
