La loi de Cauchy, aussi appelée loi de Lorentz dans les livres de physique, est une loi de probabilité qui doit son nom au mathématicien français Augustin Louis Cauchy. C’est une loi dont tu as sûrement déjà entendu parler, car il s’agit du contre-exemple parfait. En effet, si \(X\) est une variable aléatoire à densité suivant une loi de Cauchy, elle n’admet pas d’espérance !
Ainsi, il est important de la connaître, car il est fréquent que des questions (aux écrits comme aux oraux) demandent aux candidats de donner une loi de probabilité n’admettant pas d’espérance.
Expression générale de la loi de Cauchy
Soit \(x_0 \in \mathbb{R}\) et \(a >0\). Une variable aléatoire \(X\) suit une loi de Cauchy si sa densité \(f_X\) dépendant des paramètres \(x_0\) et \(a\) est définie par :
\[\forall t \in \mathbb R, f_X(t) = \frac{1}{\pi a\left[1+\left(\frac{t-x_0}{a}\right)^2 \right]}\]
On peut également utiliser l’expression :
\[\forall t \in \mathbb R, f_X(t) = \frac{1}{\pi}\left[\frac{a}{(t-x_0)^2\ +\ a^2}\right]\]
Ainsi définie, la densité \(f_X\) est appelée « fonction lorentzienne ». C’est un nom que l’on peut retrouver notamment dans les livres de physique.
Expression la plus fréquente de la loi de Cauchy
Je te rassure, l’expression que je t’ai présentée au-dessus n’est pas celle que les examinateurs attendent de ta part pendant tes écrits ou tes oraux !
Dans 99,99 % des cas, on te demandera de travailler sur la fonction standard de la loi de Cauchy. Dans ce cas, \(a=1\) et \(x_0 = 0\)
La fonction lorentzienne ainsi associée est :
\[\forall t \in \mathbb R, f_X(t)=\frac{1}{\pi \ (1+t^2)}\]
Graphiquement, la densité d’une variable aléatoire \(X\) suivant une loi de Cauchy standard se représente comme suit :
Espérance et variance
Comme je te l’ai précisé en introduction, cette loi est connue. En effet, une variable aléatoire \(X\) suivant une loi standard de Cauchy n’admet pas d’espérance ni de variance !
Je te laisse le soin de vérifier que les intégrales définissant l’espérance et la variance de \(X\) ne convergent pas !
Voilà, tu sais désormais tout sur cette loi. Si tu veux jeter un coup d’œil sur nos autres ressources mathématiques, tu peux cliquer juste ici !
