Lors de la session 2022, les candidats ECS ont vu à deux reprises surgir le nom de « loi de Gumbel » dans les sujets de mathématiques. La première fois dans le sujet Ecricome et la deuxième dans le sujet de Maths II !
Dans cet article, je te présente cette loi, qu’il est utile de connaître en vue des concours.
Une présentation de la loi de Gumbel
Expressions générales
Soit \( X\) une variable aléatoire suivant la loi de Gumbel de paramètre (\(\mu, a\)), avec \(a\) un réel strictement positif et \( \mu\) un réel quelconque. On écrit alors \( X \hookrightarrow\mathcal{G}(\mu,a)\).
\( X\) admet pour fonction de répartition la fonction définie sur \( \mathbb{R} \) par :
\[
F_{\mu,a} : x \mapsto exp \left( \ – exp \ \left(\frac{\mu \ – x}{a}\right) \right)
\]
En dérivant cette expression, on obtient alors naturellement qu’une densité de \(X\) est définie sur \( \mathbb{R} \) par la fonction :
\[
f_{\mu,a} : x \mapsto \frac{1}{a} \times e^{\left(\frac{\mu \ – x}{a}\right) \ – \ e ^{\ \left(\frac{\mu \ – x}{a}\right)} }
\]
Un cas particulier : la loi standard de Gumbel
Il s’agit de l’expression de la loi qui tombe le plus fréquemment aux concours. Dans le cas où \(\mu\) = 0, et \(a\) = 1, on dit que \(X\) suit la loi standard de Gumbel.
La fonction de répartition de \(X\) est alors :
\[\forall x \in \mathbb{R}, \ F : x \mapsto e^{ – e^{ – x }}\]
Et une densité de \(X\) est donnée par :
\[\forall x \in \mathbb{R}, \ f : x \mapsto e^{ – x \ – \ e^{ – x }}\]
La densité d’une variable aléatoire suivant la loi standard de Gumbel admet la représentation graphique suivante :
À quoi sert la loi de Gumbel ?
Toutes ces propriétés sont bien belles, mais à quoi sert la loi de Gumbel dans la vraie vie ?
Il s’agit en fait d’une loi très utilisée en hydrologie et en climatologie pour estimer les valeurs extrêmes de phénomènes, comme des catastrophes naturelles.
Elle est, de façon plus générale, très utilisée pour approximer la loi du maximum d’un échantillon si les variables aléatoires composant l’échantillon suivent une loi appartenant au domaine d’attraction de la loi de Gumbel (comme la loi exponentielle par exemple).
Il peut être très intéressant de savoir cela pour les questions de sujets qui demandent d’interpréter les résultats obtenus. Elles valent souvent très cher en points, car les candidats ont l’habitude de sauter ces questions qui sortent de l’ordinaire.
Quelques propriétés de la loi de Gumbel
Expressions de la variance et de l’espérance de \(X\)
Une variable aléatoire suivant une loi de Gumbel admet une espérance et une variance.
Les calculs à effectuer pour le prouver (ATTENTION à bien démontrer la convergence des intégrales en jeu !) mènent à : \[ E(X) = a \gamma + \mu \ \text{et}\ V(X) = \frac {\pi^2}{6} a^2 \] où \(\gamma\) correspond à la constante d’Euler.
Deux propriétés utiles
Soit \( Z \hookrightarrow\mathcal{G}(0,1)\), alors \( X = aZ+\mu \hookrightarrow\mathcal{G}(\mu,a)\).
Réciproquement, si \( X \hookrightarrow\mathcal{G}(\mu,a)\), alors \( Z = \frac{X-\mu}{a} \hookrightarrow\mathcal{G}(0,1)\).
Tout ceci se montre rapidement en travaillant sur les fonctions de répartitions des variables \(X\) et \(Z\) 😉
Quelques exemples impliquant des variables suivant une loi de Gumbel
- Si \( U \hookrightarrow\mathcal{U}(]0,1[)\), alors \( Y= -\text{ln}(-\text{ln}(U)) \hookrightarrow\mathcal{G}(0,1)\).
On notera qu’il s’agit de l’exemple le plus classique pour illustrer la fameuse « méthode d’inversion ». Les concepteurs de sujets adorent lier cette notion avec du Python. - Soit \( (X_n)_{n \ \ge \ 1}\) une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes suivant toutes une loi exponentielle de paramètre \(1\) sur \(\mathbb{R}_{+}^{*}\).
Alors la suite de variables aléatoires définie par : \( \displaystyle \forall n \ge 1, Z_n = \max_{1 \le k \le n}(X_k) \ – \ ln(n)\) converge en loi vers une variable aléatoire \(Z\) suivant la loi standard de Gumbel.
Tu vois donc que l’on peut très bien te faire travailler sur des variables qui suivent une loi de Gumbel, comme sur des variables qui convergent en loi vers une variable suivant une loi de Gumbel !
Les sujets de concours avec la loi de Gumbel
Si tu veux faire des annales mettant en jeu la loi de Gumbel, voici quelques sujets intéressants :
- le problème d’Ecricome ECS 2010 ;
- le problème d’EDHEC ECS 2011 ;
- le problème d’Ecricome ECS 2022 ;
- les Maths II ECS 2022 (abordable pour les élèves ayant un niveau solide en maths appliquées et incontournable pour les élèves en maths approfondies).
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