La loi monôme est une loi de probabilité continue hors programme qu’il est possible d’étudier avec les outils du programme. Son étude est relativement accessible pour un élève de deuxième année de prépa, ce qui en fait une loi parfaitement adaptée pour un exercice de type EDHEC/ EMLyon. Cette loi est d’ailleurs déjà tombée dans le sujet EDHEC ECS 2003 et pourrait bien retomber à l’avenir !
Définition
Densité
La loi monôme est une loi de probabilité qui décrit le comportement de variables aléatoires dont la densité de probabilité suit une fonction puissance. Cette loi est utilisée pour modéliser des phénomènes où les valeurs extrêmes sont plus probables que dans une distribution uniforme.
La loi monôme d’ordre \( n , n \in \mathbb{N*}\) est définie pour une variable aléatoire \( X_n \) ayant une densité de probabilité \( f_n(x) \) donnée par :
\[
f_n(x) = \begin{cases}
nx^{n-1}, & \text{si } x \in [0; 1] \\
0, & \text{sinon}
\end{cases}
\]
Petite précision : la loi monôme est effectivement définie pour \(n \in \mathbb{N*}\), mais pour \(n=1\), il est possible de reconnaitre une loi de probabilité continue du programme. En effet, en remplaçant \(n\) par \(1\) dans la formule de la densité de probabilité, on vérifie aisément que l’on obtient une densité de loi uniforme sur \([0;1]\).
Vérification de l’existence d’une telle densité
Pour vérifier qu’il s’agit bien d’une densité de probabilité, nous devons notamment montrer que l’intégrale de \( f_n(x) \) sur son domaine est égale à 1 :
\[
\int_0^1 nx^{n-1} \, dx = \left[ x^n \right]_0^1 = 1 – 0 = 1
\]
Comme il est clair que cette fonction est également positive sur \(\mathbb{R}\), il s’ensuit que \(f_{n}(x)\) est bien une densité de probabilité.
Fonction de répartition
Grâce à l’expression simple de la densité de probabilité, il est possible de déterminer très facilement la fonction de répartition d’une variable aléatoire \(X_n\) suivant une loi monôme d’ordre \(n\).
En effet, une première possibilité est de reconnaître directement la densité comme une dérivée d’une fonction bien connue… Sinon, on procède de manière classique : la fonction de répartition \( F_n(x) \) de \( X_n \) est alors calculée comme suit :
\[
F_n(x) = \int_0^x nt^{n-1} \, dt = \left[ t^n \right]_0^x = x^n, \quad \text{pour } x \in [0, 1]
\]
Propriétés
Avant de poursuivre, il convient de se questionner sur l’existence des moments d’une variable aléatoire suivant la loi monôme d’ordre \(n\). Comme la densité est nulle hors de l’intervalle \([0;1]\), il est clair qu’en intégrant une fonction continue sur un intervalle fermé, l’existence même de cette intégrale ne pose question (pour plus de précisions vis-à-vis de l’existence de l’intégrale, se référer à la partie Moment d’ordre \(k\)).
Espérance
L’espérance \( E(X_n) \) est donnée par :
\[
E(X_n) = \int_0^1 x \cdot nx^{n-1} \, dx = \frac{n}{n+1}
\]
Variance
De la même manière, on peut déterminer la variance d’une variable aléatoire suivant une loi monôme d’ordre \(n\). D’après la formule de Koenig-Huygens, la variance \( V(X_n) \) est donnée par :
\[
V(X_n) = E(X_n^2) – (E(X_n))^2 = \frac{n}{n+2} – \left(\frac{n}{n+1}\right)^2
\]
Moment d’ordre \(k\)
De manière générale, la simplicité de la définition de la loi monôme permet un calcul super rapide du moment d’ordre \(k \in \mathbb{N*}\) d’une variable aléatoire suivant une telle loi.
En effet, le \( k \)-ième moment \( E(X_n^k) \) d’une variable aléatoire \( X_n \) suivant une loi monôme d’ordre \( n \) est donné par :
\[
E(X_n^k) = \int_0^1 x^k \cdot nx^{n-1} \, dx = \frac{n}{n+k}
\]
On obtient donc une expression très simple du moment d’ordre \(k\) de la loi monôme d’ordre \(n\).
Maximum de deux lois monômes
On peut démontrer la propriété suivante : le maximum de deux lois monômes d’ordre \(n\) indépendantes est une variable aléatoire suivant une loi monôme d’ordre \(2n\).
Démontrons rapidement cela : considérons deux variables aléatoires indépendantes \( U_n \) et \( V_n \) suivant chacune une loi monôme d’ordre \( n \).
La fonction de répartition de \( M_n \) est donnée par :
\[
P(M_n \leq x) = P(U_n \leq x) \cdot P(V_n \leq x) = x^n \cdot x^n = x^{2n}
\]
Cette multiplication étant permise seulement parce que les deux lois monômes sont indépendantes.
La densité de probabilité de \( M_n \) est alors donnée par :
\[
f_{M_n}(x) = \frac{d}{dx} P(M_n \leq x) = 2nx^{2n-1}, \quad \text{pour } x \in [0, 1]
\]
En conclusion, \( M_n \) suit une loi monôme d’ordre \( 2n \). Assez accessible comme propriété, donc !
Question classique (EDHEC 2017 ECS)
On pose \( T_n = \inf(U_n, V_n) \) où \(U_n\) et \(V_n\) suivent toutes les deux une loi monôme d’ordre \(n\) et sont indépendantes. Identifier la loi de \(T_n\) et calculer son espérance (indice : utiliser la propriété développée au-dessus).
On a \( M_n + T_n = U_n + V_n \) (car la somme du max et du min donne nécessairement la somme des deux lois).
De plus, \( E(U_n) = E(V_n) = \frac{n}{n+1} \), alors par linéarité de l’espérance :
\[
E(U_n + V_n) = E(U_n) + E(V_n) = \frac{2n}{n+1}
\]
Et comme \( T_n = M_n + T_n – M_n = U_n + V_n – M_n \), on a finalement :
\[
E(T_n) = E(U_n + V_n) – E(M_n)
\]
Ce qui donne :
\[
E(T_n) = \frac{2n}{n+1} – \frac{2n}{2n+1}
\]
Et nous permet de conclure !
Simulation Python
Exercice en Python autour de la loi monôme : proposer un script Python qui permet de simuler 10 000 réalisations indépendantes de variables aléatoires suivant la loi monôme d’ordre 3 grâce à la méthode d’inversion. Proposer sur le même graphique la courbe de densité théorique ainsi que l’histogramme des réalisations empiriques.
Je ne peux que te conseiller de te pencher 5-10 minutes sur cette question de ton côté, avant de regarder une solution proposée (les points des questions Python valent cher au concours). D’ailleurs, si tu ne te sens pas au point avec la méthode d’inversion, je te conseille de jeter un œil à cet article.
Il va de soi que ce script n’est qu’une manière de procéder et qu’il en existe d’autres pour parvenir au même résultat. Le mieux est donc de tester directement ton code dans Python.
Toujours est-il que, dans le script proposé, la première fonction permet de simuler la réalisation empirique de 10 000 échantillons de cette loi à partir de la méthode d’inversion. La deuxième fonction se base quant à elle directement sur la définition de la loi monôme en traçant sa densité théorique.
Conclusion
En définitive, la loi monôme est une loi de probabilité hors programme, toutefois assez accessible ! Comme cette dernière n’est pas retombée aux écrits depuis 2003, elle est une excellente candidate pour un exercice de type EDHEC/EMLyon dans les années à venir. En ce sens, je ne peux que te conseiller de t’entraîner sur l’exercice qui traite de cette loi de manière assez exhaustive : EDHEC ECS 2003.
Tu peux retrouver ici le méga-répertoire qui contient toutes les annales de concours et les corrigés. Tu peux également accéder ici à toutes nos autres ressources mathématiques !
