Retrouve dans cet article l’analyse de l’épreuve de Maths 2 appliquées ESSEC. Cette épreuve, particulièrement importante pour les étudiants qui font l’option maths appliquées, demande rigueur et maîtrise parfaite de son cours. Il ne faut pas également pas négliger la rédaction qui compte pour beaucoup dans la notation finale.
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Analyse du sujet maths 2 appliquées ESSEC 2024
La théorie des graphes ayant fait son apparition à l’occasion de la réforme qui a donné naissance à la voie Mathématiques Appliquées en prépa ECG, on pouvait légitimement s’attendre à ce que les sujets de concours s’emparent de ce thème : cela aura donc été le cas pour les deux sujets parisiens de cette voie en 2024, qui auront marié ce thème à deux autres grands fondamentaux du cours de mathématiques : hier les probabilités discrètes pour la Maths I, aujourd’hui l’algèbre linéaire pour cette deuxième épreuve de Mathématiques.
La remarque du préambule à propos des articles qui sortent périodiquement sur la notion d’énergie des graphes, abordée dans ce sujet, doit sonner comme un avertissement aux futurs candidats : on n’a pas fini d’avoir à se confronter à cette notion dans les années qui viennent!
Avec 45 questions, le format global du sujet et les thèmes abordés le rendent a priori accessible à une grande majorité de candidats, tout en restant bien sûr d’un niveau élevé.
Partie 1 – Energie et trace d’une matrice
Cette première partie est vraiment abordable et reste très proche des fondamentaux du cours d’algèbre linéaire de deuxième année.
La question 1 est une question de cours : toute matrice symétrique est, d’après un théorème admis, diagonalisable, c’est-à-dire semblable à une matrice diagonale dont les éléments diagonaux sont les valeurs propres.
L’énoncé introduit alors la notion d’énergie d’une matrice comme la somme des valeurs absolues de ses valeurs propres.
La question 2 demande de retrouver l’énergie d’une matrice symétrique 3×3 donnée : il s’agit donc de calculer ses valeurs propres et de retrouver la valeur annoncée.
La question 3 demande l’écriture d’une fonction Python : l’aide-mémoire généreusement fourni à la fin du sujet permet de se rappeler de la fonction nécessaire (“valeurs propres” se dit “eigenvalues” en anglais) : on calcule le tableau des valeurs propres de \(A\), on applique à ce vecteur la valeur absolue puis on en fait la somme; on peut aussi bien sûr calculer cette somme à l’aide d’une boucle for.
La question 4. prend ensuite le temps d’établir quelques résultats importants sur la trace d’une matrice, qui ne figure pas dans le programme officiel de Mathématiques Appliquées : la définition de la trace et la fameuse formule du produit matriciel, permettront d’établir que la trace d’un produit matriciel ne dépend pas de l’ordre des facteurs, et donc que deux matrices semblables ont la même trace.
La question 5 met en place deux conséquences de la question précédente :
a) la valeur absolue de la trace de\(A\), qui est donc la valeur absolue de la somme de ses valeurs propres, est inférieure ou égale à la somme des valeurs absolues des valeurs propres : c’est en fait une conséquence directe de l’inégalité triangulaire!
b) On en déduit un résultat qui servira plus tard à propos de la trace de \(A^2\), qui est elle aussi diagonalisable, semblable à \(D^2\).
La question 6 fournit une petite commande Python qui donne l’énergie de la matrice \[ \begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2 \end{pmatrix} \) : les candidats avertis auront appris à détecter que puisque la somme des éléments de chaque ligne de cette matrice est nulle, alors 0 est valeur propre de \(A\), de vecteur propre associé \(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\).
Une jolie application des propriétés de la trace permet de trouver deux équations à deux inconnues (les deux valeurs propres de \(A\) encore manquantes) qui après une résolution simple (préférer la substitution), permettent de finalement trouver le spectre de \(A\).
Partie 2 – Produit de Kronecker \(2 \times n\) de matrices symétriques
Comme bien d’autres avant lui, ce sujet parisien introduit des notions qui ne sont pas dans le programme officiel, mais qui disposent d’une définition claire et dont on peut déterminer quelques propriétés fondamentales, ce qui est fait ici.
Il s’agit, pour bien prendre le dessus sur les questions suivantes, de réellement passer du temps à visualiser et s’approprier les exemples fournis par l’énoncé, qui concrétisent la notion de produit de Kronecker, en remarquant en particulier l’effet sur le format de la matrice \(U * A\).
Avec les fonctions Python disponibles, le plus efficace à la question 7.a) sera de définir d’emblée une matrice nulle du bon format (2 fois le format de A pour les lignes comme pour les colonnes), et de modifier toute une “tranche” de cette matrice en la réaffectant avec les produits \(u\cdot A\) et les 3 suivants.
La question 7.b) vise simplement à vérifier qu’on a bien compris comment fonctionne ce produit de Kronecker, en identifiant les valeurs d’arguments qui donnent le résultat affiché sur l’énoncé.
La question 8. étudie les liens qui existent entre les éléments propres de \(U\) et de \(A\) avec ceux de leur produit de Kronecker \(U*A\).
Il faut rester très proche des définitions du cours pour interpréter correctement les calculs réalisés, et utiliser le vocabulaire adapté.
La question 9 est plus technique, mais reste dans le même esprit : elle permet de prouver que la matrice \(U*A\), produit de Kronecker de deux matrices symétriques, reste diagonalisable (comme le sont \(U\) et \(A\) ).
La question 10. fait le lien avec la première partie : en utilisant le résultat de la question précédente (même si on n’a pas réussi à le démontrer d’ailleurs!), on montre assez facilement que l’énergie du produit de Kronecker \(U * A\), est le produit des énergies de \(U\) et de \(A\).
La question 10 fourni un exemple d’application, joli mais qui demande du temps pour bien comprendre le principe et trouver la matrice \(U\) demandée : il s’agira de la matrice \(U = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\), qu’on trouvera facilement si on prend le temps (cela en fournit au passage une justification!) d’écrire la matrice d’adjacence du graphe \(G_8\), avant d’envisager une justification dans le cas général.
La question b) permet alors d’appliquer le résultat de 9. après avoir rapidement déterminé les deux valeurs propres de \(U\) (facile puisque c’est une matrice 2×2) qui fournissent la valeur de son énergie \(\mathcal{E}(U)\).
Partie 3 – Encadrement de l’énergie d’une matrice d’adjacence
Cette partie, plus longue et plus technique, vise à établir des résultats plus théoriques sur les matrices d’adjacences de graphes non orientés, qui sont naturellement symétriques de fait.
C’est ici que les candidats qui ont la meilleure capacité d’abstraction, les compétences techniques et le recul nécessaire, sauront faire la différence.
La question 11.a) exprime simplement que dans une matrice d’adjacence d’un graphe, la somme des coefficients est égale à celle de ceux qui ne sont pas nuls (correspondant donc à des sommets non isolés), et est égale au double du nombre d’arêtes du graphe.
Ce nombre \(2m\) est naturellement supérieur ou égal à \(p)\), le nombre de sommets non isolés (de chacun d’eux part au moins une arête), et inférieur ou égal au nombre d’arêtes obtenue si les \(p\) sommets non isolés sont tous reliés deux à deux, c’est-à-dire forment un sous-graphe complet : chacun des \(p\) sommets est alors relié à chacun des \(p-1\) autres sommets de cette catégorie, pour un nombre total d’arêtes (comptées deux fois chacune) de \(p(p-1)\).
C’est forcément technique dès que des aspects de dénombrement entrent en jeu, mais on peut s’en tirer via des explications dûment rédigées et qui restent simples, comme celle fournie ici.
La question 12. est un bis repetita ou presque du tout début du sujet : \(A\), matrice d’adjacence du graphe, est diagonalisable et l’une au moins de ses valeurs propres est non nulle, sinon ce serait la matrice nulle et le graphe serait vide : absurde!
La trace de \(A\) est naturellement nulle car ses éléments diagonaux sont tous nuls : le graphe ne comporte pas de boucles (un sommet relié à lui-même). C’est donc aussi la valeur de la trace de la matrice diagonale \(D\) qui lui est semblable.
La trace de \(D^2\) est celle de \(A^2\), dont on a démontré auparavant que c’était la somme des carrés de tous les coefficients de \(A\) : ces coefficients valant tous 0 ou 1, c’est aussi la somme de tous les coefficients de \(A\), et on utilise alors 11.a) pour conclure.
L’énoncé suppose dans la suite que la matrice de passage \(P\) a été choisie de sorte que les valeurs propres de \(A\) soient rangées dans l’ordre décroissant de leurs valeurs absolues : c’est une indication qu’il est important de prendre en compte pour la suite.
La question 13. a) établit que si un sommet \(k\) est isolé, alors la colonne et la ligne \(k\) de la matrice d’adjacence sont nulles, ce qui implique que \(AE_k = 0_{n,1}\) où \(E_k\) est le \(k\)-ième vecteur de la base canonique, dont tous les coefficients sont nuls sauf celui d’indice \(k\) qui vaut 1.
On en déduit que le noyau de la matrice (terme plutôt impropre, mais on n’utilise pas vraiment d’endomorphismes dans ce sujet) contient au moins autant de vecteurs de la base canonique de \(\mathcal{M}_{n,1\}(\mathbb{R})\) que de sommets isolés : cette sous-famille forme une famille libre de \(n-p\) vecteurs de Ker\((A)\), d’où la minoration de la dimension de ce sous-espace.
En rappelant que les valeurs propres de \(A\) sont rangés sur la diagonale de \(D\), dans l’ordre décroissant de leurs valeurs absolues : la dernière valeur propre est ici 0, répétée autant de fois que la dimension de Ker(A), donc au moins \(n-p\) fois : une autre façon de le dire est que les valeurs propres d’indices p+1 à n sont nulles.
La question 13.b) tire les conséquences de cette nullité des dernières valeurs propres, en demandant un encadrement de la plus grande des valeurs propres de la matrice d’adjacence.
Les deux sous-questions qui suivent sont plus techniques : on utilise une identité remarquable en c) pour établir que \(2x_i x_j\) est toujours inférieur à \(x^2_i+x^2_j\) (faites la différence du second avec le premier terme et constatez qu’elle est toujours positive!)
On fait alors le lien entre la définition de l’énergie et ce qui précède, pour obtenir une première majoration de l’énergie de \(A\).
La question 14. (et les suivantes) seraient des classiques en mathématiques approfondies, où l’on sait que toute matrice symétrique peut-être diagonalisée via une matrice de passage \(P\) orthogonale, c’est-à-dire dont l’inverse est égale à sa transposée.
Les trois sous-questions sont assez guidées et demandent une bonne maîtrise du calcul matriciel.
N’hésite pas à retrouver le sujet des Maths 2 appliquées ESSEC 2024 par ici.
Bonne courage pour cette épreuve de Maths II appliquées ESSEC 2024 ! Tu pourras retrouver toute l’actualité du concours BCE 2024 sur notre rubrique Inside Concours BCE 2024.
