Retrouve dans cet article l’analyse de l’épreuve de Maths 2 appliquées ESSEC. Cette épreuve, particulièrement importante pour les étudiants qui font l’option maths appliquées, demande rigueur et maîtrise parfaite de son cours. Il ne faut pas également pas négliger la rédaction qui compte pour beaucoup dans la notation finale.
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Analyse du sujet maths 2 appliquées ESSEC 2025
Partie 1 : Des résultats généraux
La première partie est fondamentale : elle pose des outils d’analyse élémentaire (approximation de fonctions, probas élémentaires, simulations). Les premières questions (1 à 4) sont accessibles et doivent être entièrement maîtrisées, car elles font appel à des calculs directs sur \(\ln(1+\theta)\), des raisonnements élémentaires sur les minimums de variables aléatoires, et des petits programmes Python. À partir de la question 5, la difficulté monte avec des manipulations plus fines sur les sommes de probabilités et des raisonnements d’inclusion-exclusion. Les étudiants doivent bien comprendre l’usage des sommes et des indépendances pour ne pas se perdre dans les indices. Globalement, cette partie est indispensable pour aborder la suite, elle introduit toutes les notations et méthodes qui seront utilisées après.
La question 1 commence en douceur. Elle traite d’une inégalité élémentaire sur le logarithme. C’est très classique : il faut penser à utiliser des encadrements usuels du type \(\ln(1+\theta) \leq \theta\). Question facile et essentielle à faire.
La question 2 monte tout doucement en difficulté. On a une étude de fonction classique : dériver \( f \), voir le signe de la dérivée, puis en déduire l’existence et l’unicité de \(\alpha\). C’est une question standard d’analyse, très accessible si on reste rigoureux. Question à faire sans hésitation. La 2b introduit le langage Python. On demande ici de coder une recherche approchée de \(\alpha\) en Python. Il suffit d’implémenter une dichotomie ou un balayage fin. Question purement technique, facile pour ceux à l’aise en programmation. Ces programmes sont des classiques ! Enfin pour la question 2c, il faut montrer que \( e^t \leq 1 + 2t \) pour \( t \in [0, 1] \) à partir d’un développement limité, puis en déduire une minoration de \(\alpha\). Petite question classique sur les approximations d’exponentielle, rapide si on connaît bien ses DL.
La question 3 définit ici une variable \( X \) comme un minimum, en lien avec une somme. C’est une traduction directe de la définition d’une variable géométrique ou de Poisson.. Pour la 3a, le travail Python où il faut écrire une fonction qui simule \( X \) en cherchant un minimum. Simple transcription mathématique, sans difficulté pour ceux habitués aux boucles. La 3b demande de montrer que \( Y \) suit une loi de Poisson de paramètre \(\beta\). C’est une identification directe de la forme de \( P(Y = k) \), assez classique si on connaît bien la définition. La 3c nécessite de montrer que si \( Y = k \) est réalisé, alors certaines inégalités sont vérifiées (par exemple sur la position du minimum). Cela revient à traduire l’événement “\( Y = k \)” en contraintes sur \( X \). Puis il faut en déduire une implication utile pour la suite. Question technique qui nécessite de bien manipuler les définitions et les inclusions d’événements. Pour la 3d, il faut montrer que \( X = 0 \)se produit sur un certain événement précis, ce qui implique une inclusion d’événements. Puis, en déduire une inégalité sur les probabilités. Cela demande un travail soigné sur les ensembles et une bonne interprétation des conditions ; un peu piégeux mais très faisable avec un schéma clair. Enfin, pour la 3e, on veut majorer \( P(X \neq Y) \)en combinant plusieurs événements étudiés avant. Il faut utiliser les résultats de 3c) et 3d), puis additionner les bornes.
La question 4 est un classique réunissant probabilités et événements. Cela introduit les inégalités de Boole tombées plusieurs fois les années précédentes ! La 4a montre le lien entre probabilité d’une réunion et d’une somme d’événements disjoints. Classique, pas difficile si on connaît les formules de base de probabilité. Puis, la 4b raffine le résultat précédent en passant aux probabilités. Plus subtil, car il faut justifier l’égalité avec la somme. Assez standard mais demande de l’attention.
La question 5 clôture cette première partie en douceur. La 5a est la partie la plus difficile. Elle introduit le début d’une notion de distance entre lois (\( d(X, Y) \)). Simple en apparence, mais l’écriture sérieuse de la formule mérite précision. La 5b fait intervenir une série convergente grâce à la série géométrique. Ici, la convergence est facile mais il faut être soigneux. À faire. La 5c est classique. Utiliser l’indépendance des événements est standard en probabilité. Enfin, on termine cette première partie avec la 5d et l’application d’une inégalité simple en probabilité. Une manipulation d’inégalités classique mais un peu technique.
Partie 2 : Une inégalité d’après Hodge et Le Cam
Cette partie développe une inégalité permettant de contrôler l’écart entre deux lois (binomiale et Poisson). Les premières questions sont assez standards mais fondamentales. À partir de la question 9, il faut être plus précis dans les manipulations d’événements et de probabilités. La question 10 est une grosse question technique de majoration d’écart entre deux distributions. La partie 11 est très complète et permet de valider toute la mécanique d’approximation de loi.
On commence tranquillement avec la question 6. On raisonne simplement : si un des \( p_k \) est au moins \(\alpha\), alors son carré \( p_k^2 \) est déjà non négligeable. Cela suffit pour contrôler l’écart total car la borne cherchée implique essentiellement un contrôle par un \( p_k \) assez gros. Question facile, indispensable pour ancrer l’intuition.
La question 7 est une justification d’une indépendance classique : on utilise l’indépendance des variables de base pour déduire l’indépendance des événements correspondants. Il faut bien vérifier que les événements considérés reposent sur des variables disjointes. Justification rapide mais importante pour la rigueur.
La 8) demeure également abordable. Tous les \( p_k \)sont \(\displaystyle \frac{\lambda}{n}\), donc \( T_n \) est une somme de variables indicatrices iid de loi \( S_n \) est défini comme la somme d’indicatrices associées aux événements étudiés. Dans ce cadre, \( S_n \) suit également une loi binomiale \(\displaystyle B(n, \frac{\lambda}{n}) \). Le passage à la limite repose sur la convergence classique de la loi binomiale rare événements vers la loi de Poisson de paramètre \(\lambda\). Question basique, à absolument réussir.
La question 9) est une application à un schéma de Bernoulli indépendant. Pour la 9a, il s’agit de montrer que si au moins deux événements \( A_i \) se réalisent, alors il existe un couple \((i,j)\) tel que \( A_i \) et \( A_j \) sont tous deux réalisés. Concrètement, “au moins deux événements” implique nécessairement l’existence d’un tel couple, car il suffit que deux indices soient activés simultanément. Cette inclusion est intuitive, mais il faut bien la formuler rigoureusement en termes d’événements. Puis, à partir de l’inclusion de 9a, on utilise que la probabilité d’une réunion d’événements est inférieure à la somme des probabilités individuelles. L’inégalité de probabilité découle directement. Question courte, mais il faut rester précis dans l’écriture.
On rentre dans le dur de la seconde partie avec les deux dernières questions. La question 10 est très compliquée et il n’est pas forcément stratégique de s’y attarder. La stratégie repose sur comparer directement les termes de la loi binomiale avec ceux de la loi de Poisson, utiliser des inégalités élémentaires comme \((1+x)^n \approx e^{nx}\) pour \( x \) petit ; Exploiter que \(\displaystyle \left(1 – \frac{\lambda}{n}\right)^n\) tend vers \( e^{-\lambda} \)sans passer par Taylor. Contrôler les écarts de manière simple en utilisant des développements limités de premier ordre ou des bornes basiques. Cette question risque d’être très chronophage et doit être réservée pour les meilleurs candidats.
On termine avec la question 11. Pour la 11a, il s’agit d’adapter la majoration précédente à la situation concrète de \( S_n \). Cela demande d’ajuster les paramètres et de bien lire ce que devient \( s_n \) (paramètre d’espérance). Le raisonnement est relativement direct une fois la 10 acquise. Pour la 11b, on établit une inégalité d’intégrales : encadrer l’intégrale de \(|f_n(x) – g(x)|\)∣ où
\( f_n \) est la fonction associée à la loi de \( S_n \), \( g \) celle de la Poisson. Le lien avec la majoration uniforme trouvée en 11a doit être exploité. Il faut utiliser une inégalité classique liant somme et intégrale sur \(\mathbb{N}\). Concernant la 11c, on travaille sur l’encadrement de \( s_n \), paramètre d’espérance de \( S_n \). Il faut montrer que \( s_n \) tend vers \( \lambda \) en justifiant proprement la convergence (typiquement en utilisant une approximation de \(\displaystyle \left( 1 – \frac{\lambda}{n} \right)^n\) et des petits \( o(1) \). La rigueur sur la limite est importante pour pouvoir conclure sur la convergence des lois. Enfin, on termine avec la 11d, il s’agit de conclure à la convergence en loi de \( S_n \) vers une loi de Poisson de paramètre \( \lambda \). Cela nécessite d’assembler tout ce qui a été montré : la majoration de l’écart, la convergence de \( s_n \) vers \( \lambda \), et les propriétés classiques de convergence des lois discrètes.
Partie 3 : Retour à la chaîne de Markov
On exploite ici la structure particulière d’une chaîne de Markov pour prouver sa convergence vers la loi invariante. Le début est accessible mais la technicité augmente nettement sur les bornes d’écarts et la convergence en loi.
Sur la question 12, on commence tranquillement : il s’agit de vérifier que \( h \) est de classe \( C^1 \) sur \(\mathbb{R}^+\), ce qui revient à faire un développement limité de \( e^{-x} \) au voisinage de \( 0 \). Ce n’est qu’un passage technique sans piège si l’on connaît ses classiques.
La question 13a demande d’exprimer \( g'(x) \) en dérivant un produit intégrale × fonction exponentielle. C’est standard, mais il faut rester rigoureux dans l’application des règles de dérivation pour ne pas perdre de signe ou de facteur. La question 13b est une simple vérification de calcul sur \( h(t) – h'(t) \). On développe, on simplifie et on reconnaît une forme factorisée propre. C’est rapide mais il faut garder la tête froide sur les simplifications. À la question 13c, il faut exploiter la formule obtenue juste avant pour montrer que \( h(t) – h'(t) \) est strictement positif et étudier une intégrale impropre. C’est un peu plus subtil, notamment sur le comportement à l’infini, mais avec des arguments d’ordre de grandeur simples cela passe bien. Enfin, la question 13d demande un tableau de signes de \( g’ \) et les variations de \( g \). Ici, il faut capitaliser sur tout ce qu’on a fait avant : c’est une mise en ordre logique, et le maximum unique \( gamma \) ressort naturellement si on est attentif aux variations du signe de \( g’ \).
Pour la question 14a, il faut encadrer une certaine quantité en utilisant l’expression de \( h(t) – h'(t) \). C’est une inégalité purement technique où il ne faut pas chercher midi à quatorze heures : il faut bien choisir les majorations au bon moment pour éviter de compliquer inutilement. On enchaîne sur la 14b en déduisant un encadrement sur \( g'(x) \) pour \( x \geq 0 \). C’est une conséquence directe du travail sur les bornes précédentes ; il suffit de propager proprement l’encadrement au niveau de \( g’ \). Enfin, la 14c est plus stratégique : il faut en déduire que \( \gamma \in [\ln(3), 2] \). Il ne s’agit pas d’un gros calcul, mais plutôt d’une exploitation intelligente des encadrements obtenus.
La question 15 est la question la plus difficile de la partie. À ne pas faire si l’on est pas très à l’aise. Elle demande une inégalité sur des sommes. On entre dans un passage plus lourd techniquement. La stratégie repose ici sur la comparaison des termes un à un, sans chercher à faire un passage limite trop fin ; il faut juste exploiter des majorations élémentaires et éviter de surcharger les calculs.
Pour terminer, pour la question 16, il s’agit de compléter un programme Python pour tracer la courbe de \( g \) entre \( \ln(3) \) et \( 2 \). L’analyse numérique est assez standard : il suffit de comprendre ce que fait chaque ligne du pseudo-code et compléter logiquement pour obtenir le tracé demandé.
Partie 4 : Le problème du meilleur choix
Cette partie propose une montée en difficulté progressive autour d’un problème classique d’optimisation probabiliste. Les premières questions sont techniques mais accessibles, tandis que l’expression explicite de \( r_n \) et l’analyse asymptotique demandent plus de rigueur. La dernière question demande une réflexion stratégique mais reste naturelle dans la suite de l’étude.
La question 17a démarre sans grande difficulté : il faut montrer une inégalité entre deux probabilités. Il s’agit d’un raisonnement assez standard en théorie des probabilités, où l’on compare des événements inclus l’un dans l’autre. La question 17b est un peu plus calculatoire : on introduit une nouvelle notation \( \theta \) pour simplifier, puis on calcule une probabilité en sommant. C’est de la technique pure, mais il faut faire attention aux détails pour ne pas inverser les indices ou oublier des facteurs. À la question 17c, il faut tirer une inégalité en utilisant un développement élémentaire de \(\displaystyle \ln\left(\frac{1}{1 – p}\right)\)) pour \( p \) petit. Cela repose sur une estimation très classique et directe, qui ne devrait pas poser de gros souci à ce stade. La question 17d est plus stratégique : il faut justifier l’existence d’un seuil ss via une propriété sur la fonction de répartition. L’idée est assez naturelle, mais nécessite de bien comprendre le lien entre \( \theta \) et la probabilité cherchée.
La question 18a est un rappel rapide : montrer que \( \theta = 1 – p \)
dans le cas d’une loi uniforme est immédiat si on connaît la définition de la probabilité d’un maximum. C’est purement une question d’application du cours. À la question 18b, il s’agit d’écrire une petite fonction Python simulant le couple \((Z_{n,s}, Y_{n,s})\). Le code est très standard : génération de variables aléatoires indépendantes, puis quelques opérations de \(\max\) et \(\min\). À la question 18c, il faut aller un peu plus loin en simulant plusieurs couples pour estimer la valeur de \( r_{10} \)numériquement. Cela reste accessible si on est à l’aise avec les boucles et les fonctions en Python.
La question 19a est beaucoup plus conceptuelle : on définit une nouvelle probabilité \( PA_j \)
conditionnée à certains événements, et il faut retrouver explicitement la loi des \( X_i \) sous cette nouvelle mesure. C’est un passage technique qui demande de bien manier les densités conditionnelles. Enfin, la question 19b fait le lien en exploitant cette nouvelle loi pour calculer une probabilité d’un événement complexe. Il s’agit d’un calcul un peu lourd mais très guidé par la structure du problème ; il faut juste bien organiser ses intégrales pour éviter les erreurs. La question 19c demande de manipuler des événements conditionnels et des partitions de l’espace. Rien de fondamentalement nouveau si on a bien compris la structure du problème, c’est de l’écriture propre à produire. La question 19d est une simple variante : il suffit de refaire l’argument précédent avec \( k = 0 \). Ça déroule tout seul une fois qu’on a compris le raisonnement en 19c. La question 19e est une combinaison directe des résultats précédents : il faut simplement additionner proprement les deux cas. C’est une mise en forme qui nécessite de rester concentré, mais tout est déjà donné.
La question 20a est plus sérieuse : on rentre dans l’asymptotique, et il faut utiliser un développement de la partie 2. C’est du travail technique, avec des approximations précises à bien manier, mais c’est classique si on connaît la convergence de \(\displaystyle \left( 1 – \frac{\lambda}{n} \right)^n \to e^{-\lambda}\)
. La question 20b est la conséquence naturelle : le passage à la limite se fait très simplement grâce aux approximations de 20a. C’est presque automatique.
La question 21 est plus ouverte : elle demande une réflexion stratégique sur le choix optimal de \( s \). C’est une question d’optimisation où l’idée est de maximiser une probabilité qui dépend de \( lambda \), donc il faut viser une valeur de \( lambda \) qui équilibre bien \(\displaystyle \sum \frac{\lambda^k}{k! k}\)
et \( e^{-\lambda} \). Pas besoin d’entrer dans des détails compliqués si on donne l’intuition que \( lambda \) doit être ajusté pour atteindre un certain compromis.
Et voilà, c’est fini !
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