Voilà l’analyse de l’épreuve de maths 2 approfondies HEC ESCP 2025, une épreuve phare du concours de la BCE pour les maths approfondies. Souvent centrée autour des probabilités, cette épreuve compte pour de nombreuses écoles ! Si les maths 2 appro HEC ESCP peuvent être une épreuve qui fait peur, pas d’inquiétude : nul besoin de finir le sujet pour avoir une très bonne note ! (Encore heureux !!)
On t’invite tout d’abord à découvrir le sujet de Maths II approfondies HEC ESCP 2025.
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Analyse des maths 2 approfondies HEC ESCP 2025
Le sujet de maths 2 approfondies 2025 comporte trois parties, centrées sur la loi du Khi-deux, la loi de Student et les lois normales.
La première partie mêle calculs théoriques et simulations Python pour étudier des suites de variables aléatoires et leurs convergences. La seconde partie est consacrée à un théorème reliant somme et différence de lois normales, en mobilisant densités et intégrations multiples. Enfin, la troisième partie adopte une approche géométrique via le théorème de Cochran, avec des applications à l’estimation de la variance.
Ce sujet, classique dans ses thèmes, exige rigueur dans les raisonnements et bonne maîtrise des outils statistiques du programme.
Première partie : étude du Khi-deux et de la loi de Student
Cette partie s’appuie sur une famille de variables normales indépendantes pour construire des sommes de carrés, menant naturellement à la loi du Khi-deux et à la loi de Student. L’objectif est d’étudier ces lois, leurs espérances et variances, mais aussi de conjecturer et démontrer des résultats de convergence.
Question 1
La 1) a) demande de montrer que \( \displaystyle S_n = \sum_{i=1}^n X_i^2 \) possède une espérance.
Puisque chaque \( X_i \sim \mathcal{N}(0,1) \), on sait que \( \mathbb{E}(X_i^2) = 1 \), donc par linéarité de l’espérance :
\[
\mathbb{E}(S_n) = n.
\]
On admet d’ailleurs que \( S_n \) suit une loi \( \chi^2(n) \).
La 1) b) demande d’écrire une fonction Python simulant \( S_n \) — il suffit de simuler \( n \) variables normales centrées réduites, d’élever chaque réalisation au carré et de sommer.
En 1) c), l’observation du graphe issu du programme Python suggère que \( \mathbb{E}(S_n) \) est proportionnelle à \( n \), confirmant l’intuition précédente.
Question 2
La 2) a) demande de déterminer la densité de \( \displaystyle W_1 = \frac{1}{2}S_1 \), soit la moitié d’un Khi-deux à un degré de liberté.
Rappelons que \( S_1 \sim \chi^2(1) \) possède une densité connue :
\[
f_{S_1}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi x}} e^{-x/2}, \quad x > 0,
\]
d’où, par changement de variable \(\displaystyle y = \frac{x}{2} \), on trouve la densité de \( W_1 \).
En 2) b), il s’agit d’en déduire la valeur de \( \displaystyle \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) \), ce qui conduit classiquement à \( \displaystyle \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi} \).
La 2) c) généralise : \( \displaystyle W_n = \frac{1}{2}S_n \) suit une loi gamma \( \displaystyle \gamma\left(\frac{n}{2}\right) \) de paramètre \(\displaystyle \frac{n}{2} \).
La 2) d) utilise alors les moments standards de la loi gamma pour retrouver :
\[
\mathbb{E}(S_n) = n, \quad \text{V}(S_n) = 2n.
\]
Question 3
La 3) a) introduit \( \displaystyle \mathbb{E}\left( \frac{1}{W_n} \right) \), et demande de prouver :
\[
\mathbb{E}\left( \frac{1}{W_n} \right) = \frac{\Gamma\left(\frac{n}{2}-1\right)}{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}.
\]
Il faut ici utiliser les propriétés des lois gamma et la formule de récurrence de la fonction Gamma :
\[
\Gamma(x+1) = x\Gamma(x).
\]
Cela permet d’enchaîner et obtenir que :
\[
\mathbb{E}\left(\frac{1}{S_n}\right) = \frac{1}{n-2}.
\]
En 3) b), on en déduit que \( \displaystyle \mathbb{E}\left(\frac{1}{\sqrt{S_n}}\right) \) existe pour \( n \geq 3 \), ce qui prépare la suite.
Question 4
La 4) est théorique : il s’agit de montrer qu’il existe un unique réel \( t_{n,\alpha} \) tel que :
\[
\mathbb{P}(|T_n| \leq t_{n,\alpha}) = 1 – \alpha.
\]
Cela repose sur la continuité et la stricte positivité de la densité de \( T_n \).
Question 5
La 5) a) rappelle que \( \mathbb{E}(T_n) = 0 \) pour tout \( n \geq 3 \) par symétrie.
La 5) b) exploite la définition de la variance d’une loi de Student, qui vaut :
\[
\text{V}(T_n) = \frac{n}{n-2}.
\]
La 5) c) demande de calculer \( \mathbb{E}((T_n – Y)^2) \), ce qui nécessite une combinaison d’espérances et un passage par \( \mathbb{E}\left(\frac{1}{W_n}\right) \).
Question 6
Pour \( \displaystyle u_n = \mathbb{E}\left(\frac{1}{\sqrt{W_n}}\right) \), la 6) a) montre que la suite est décroissante, car la fonction \( \displaystyle x \mapsto 1/\sqrt{x} \) est décroissante.
La 6) b) donne une relation de récurrence :
\[
a_{n+1} \times a_n = \frac{2}{n-1},
\]
à résoudre ensuite.
La 6) c) est une simple programmation Python pour générer la suite.
En 6) d), l’observation du graphique permet de conjecturer que \( \displaystyle u_n \sim \sqrt{2/n} \) quand \( \displaystyle n \to +\infty \), que la 6) e) demande de justifier.
Question 7
La dernière question montre que \( (T_n) \) converge en probabilité vers \( Y \).
Ceci s’obtient en utilisant la convergence en probabilité de \( \sqrt{S_n/n} \to 1 \) et donc du rapport \( Y/\sqrt{S_n/n} \to Y \).
Deuxième partie : étude des combinaisons linéaires de lois normales
Cette partie démontre un théorème classique sur la combinaison de variables normales indépendantes, en mobilisant des outils d’intégration et de convolution. Il est crucial ici de manipuler habilement densités, symétries et indépendances.
Introduction au théorème
Le théorème proposé affirme que si \( X \) et \( Y \) sont deux variables indépendantes de loi \(\displaystyle \mathcal{N}(0,1) \), alors \( \displaystyle\frac{X+Y}{\sqrt{2}} \) et \(\displaystyle \frac{X-Y}{\sqrt{2}} \) sont également indépendants et suivent chacun une loi \( \displaystyle\mathcal{N}(0,1) \).
La démonstration passe par l’étude de la loi jointe \((X,Y)\) et par l’introduction d’une nouvelle base orthogonale.
Question 8
On demande de dessiner la partie \( A \) définie par les inégalités :
\[
x + y \leq 2, \quad x – y \leq -1.
\]
Il s’agit d’identifier un domaine du plan \( \mathbb{R}^2 \), délimité par deux droites.
Astuce : \( A \) est un triangle (ou un trapèze selon les valeurs de \( a \) et \( b \)).
Question 9
La 9) a) consiste à exprimer, pour un réel \( y \) fixé, l’ensemble des \( x \) tels que \( (x,y) \in A \).
Il faut simplement résoudre les inégalités données pour \( x \) en fonction de \( y \).
La 9) b) en déduit une première intégrale : pour tout \( y \), l’intégrale de \( 1_A(x,y)\varphi(x) \) donne une fonction en \( y \), liée à \( \Phi(b+y) \).
Question 10
Même raisonnement que la 9), mais cette fois en fonction de \( y \leq d \), et on retrouve une expression avec \( \Phi(c-z) \).
Question 11
En 11) a), il s’agit de vérifier que \( A \) est bien fermée dans \( \mathbb{R}^2 \), ce qui est immédiat car \( A \) est défini par des inégalités sur des fonctions continues.
En 11) b), la probabilité \( \mathbb{P}((X,Y) \in A) \) est traduite en une intégrale double en utilisant la densité jointe des normales indépendantes.
Question 12
La 12) demande à intervertir l’ordre des intégrales grâce au théorème de Fubini, vu que l’intégrande est positive et mesurable. Cela conduit à une nouvelle expression où \( t \) est intégré avant \( z \).
Question 13
La 13) est une astuce classique sur les produits de gaussiennes :
\[
\varphi(u)\varphi(v) = \varphi\left(\frac{u+v}{\sqrt{2}}\right)\varphi\left(\frac{u-v}{\sqrt{2}}\right),
\]
ce qui prépare la factorisation utilisée ensuite.
Question 14
La 14) utilise cette propriété pour exprimer la probabilité sous forme d’une seule intégrale sur \( t \), en termes de convolutions entre \( \Phi \) et \( \varphi \).
Question 15
La 15) simplifie encore l’expression, en exprimant les termes en fonction de \( c \) et \( d \) (moyenne et demi-différence de \( a \) et \( b \)).
Question 16
La 16) conclut en reconnaissant dans le résultat final la densité d’un couple de variables indépendantes normales, prouvant ainsi que \( W \) et \( Z \) sont indépendants et standardisés.
Troisième partie : approche géométrique et théorème de Cochran
Cette partie adopte une perspective géométrique pour travailler sur des échantillons de variables normales. Le théorème de Cochran est central ici, permettant d’obtenir l’indépendance entre la moyenne empirique et la variance corrigée.
Introduction à la situation
On considère un échantillon \( (X_1, X_2, \ldots, X_n) \) de variables indépendantes et suivant chacune une loi \( \mathcal{N}(0,1) \).
On introduit l’espace vectoriel \( \mathbb{R}^n \), avec produit scalaire usuel, et on s’intéresse aux projections sur des sous-espaces naturels liés à la moyenne des observations.
Question 17
La 17) a) demande de montrer que \( (1,\ldots,1) \) est orthogonal à tout vecteur dont la somme des composantes est nulle.
C’est immédiat en développant le produit scalaire.
Question 18
Il faut ici calculer la projection orthogonale d’un vecteur \( X \) sur ces deux sous-espaces :
– La projection sur \( \mathrm{Vect}(1,\ldots,1) \) est proportionnelle à \( (1,\ldots,1) \), avec un coefficient donné par la moyenne empirique.
– L’orthogonale correspond aux écarts à cette moyenne.
C’est la clé pour relier somme des \( X_i \) et somme des \( (X_i – \bar{X})^2 \).
Question 19
Cette question demande d’exprimer \( \displaystyle \sum_{i=1}^n X_i^2 \) comme somme de deux termes :
– Le carré de la norme de la projection sur \( \mathrm{Vect}(1,\ldots,1) \),
– Plus celui de la projection sur son orthogonal.
On retrouve alors que :
\[
\sum_{i=1}^n X_i^2 = n\bar{X}^2 + \sum_{i=1}^n (X_i – \bar{X})^2.
\]
Cela prépare directement la conclusion du théorème de Cochran.
Question 20
La 20) a) demande d’étudier la loi de \( \sqrt{n}\bar{X} \), qui suit une loi \( \mathcal{N}(0,1) \) grâce à la stabilité de la loi normale par somme d’indépendants.
En 20) b), on démontre que \( \sqrt{n}\bar{X} \) et \( (X_i – \bar{X}) \) sont indépendants, ce qui est une conséquence de l’orthogonalité dans \( \mathbb{R}^n \) couplée à la normalité jointe.
La 20) c) demande alors d’identifier la loi de \( \displaystyle \sum_{i=1}^n (X_i – \bar{X})^2 \), qui suit une loi du Khi-deux à \( n-1 \) degrés de liberté.
Conclusion
Le sujet de maths 2 approfondies HEC ESCP 2025 propose un parcours cohérent et progressif à travers des notions fondamentales de probabilités : lois du Khi-deux, lois de Student, lois normales, et propriétés asymptotiques. Ce sujet, très formateur, met l’accent sur la rigueur des raisonnements, la maîtrise des lois classiques et une bonne capacité de modélisation probabiliste.
On espère que cette épreuve de Maths 2 approfondies HEC ESCP 2025 s’est bien passée ! Tu pourras retrouver toute l’actualité du concours BCE sur notre rubrique Inside Concours BCE.
