L’épreuve de maths 2 ESSEC 2021 était comme à son habitude plutôt difficile, mais il ne fallait pas se laisser surprendre. Cette épreuve, particulièrement importante pour les étudiants de la filière ECE, demande rigueur et maîtrise parfaite de son cours. Tu peux dès à présent retrouver le sujet complet en suivant ce lien.
Toutes les informations concernant les concours BCE se trouvent dans notre rubrique dédiée Inside Concours BCE 2021. Si tu es encore en épreuve, nous te souhaitons le meilleur pour la suite des concours !
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Notre proposition d’analyse du sujet maths 2 ESSEC 2021 :
Disclaimer : cette rapide analyse du sujet n’est qu’une proposition d’analyse et n’engage que moi. Elle n’est pas à prendre pour une tentative de correction du sujet !
Le sujet de maths 2 ESSEC 2021 était composé d’un unique problème en 3 parties, dont le but était l’étude d’un modèle probabiliste décrivant un processus de renouvellement. Remarquons que le sujet précise que la notation de la variance des variables aléatoires du sujet (lorsque ces variables admettent une variance !) doit être notée Var(Y) par les candidats et non V(Y) comme on peut en avoir l’habitude…
On nous précise également sur la suite de variables aléatoires (Xn) (n supérieur ou égal à 1) que X1 admet un moment d’ordre 4. Les Xn étant de même loi, toutes les variables Xi admettent donc un moment d’ordre 4 (et donc également d’ordre 3 et 2 !)
Il était donc important de bien lire l’énoncé pour percevoir ces deux subtilités du sujet !
Première partie :
La question 1 ne pose pas de problème particulier et on pouvait s’aider de l’énoncé et des propriétés de l’espérance. Notons que la question 1.b semble avoir disparu du sujet !
la question 2.a est intuitive lorsque que l’on décompose bien l’expression qui nous est proposée : Bn+1 est en effet inclus dans Bn, puisque dans Bn on “rajoute” An en union ! Pour la question 2.b, on montrait que : (*) [implique] (**) puis que (**) implique (*). La question 2.c a pu poser plus de difficultés si l’on n’a pas l’habitude de manipuler des unions et intersections infinies. En revanche, la question 2.d est un résultat classique à savoir démontrer ! La question 2.e ressemble à l’inégalité de Boole pour le cas k=1, avec ici k=n. Elle a pu poser problème pour les candidats ne s’étant jamais confronté à cette inégalité ! Pour répondre à la question 2.f, la question 2.c était un bon indice.
Attention à bien lire l’énoncé de la question 3 qui posait pas mal de notations, et précisait que l’espérance nulle des variables Yk. Pour la question 3.a, on s’en sortait avec l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev. La question 3.b.iii n’aura pu être traitée que par les meilleurs candidats. Il s’agissait de calculer la somme des Yk à la puissance… 4 ! Les candidats qui n’avaient jamais traité de question similaire avaient très peu de chances d’aboutir, et de grandes chances de perdre beaucoup de temps. Pas d’angoisse, il est normal d’avoir passé cette question. En revanche pour ceux qui l’ont traité correctement, la question sera sans doute une belle source de points… Toutefois, même sans traiter cette question 3.b.iii on pouvait traiter beaucoup plus facilement 3.b.iv, avec les propriétés sur l’espérance (en justifiant bien toutes les existences). La fin de la question 3 devait être traitées en revenant aux résultats du début de la question 3.
La question 4.a se traite avec le résultat final de la question 3. Pour la 4.b il semble que l’on pouvait procéder par comparaison en utilisant le fait que lim(P(An))=0 quand n tend vers +Infini. La question 5 a dû être moins abordée par les candidats, à l’exception de la question 5.a pour laquelle il fallait revenir à l’énoncé de base.
Deuxième partie :
La deuxième partie introduit la notion de processus de renouvellement. La question 6.a pouvait être traitée sans trop de difficulté. Pour la 6.b on pouvait procéder par double inclusion pour conclure sur l’égalité. Le reste de la question 6 était globalement difficile. La question 7 était une question de Scilab classique qui ne présentait pas de difficultés particulières pour les candidats ayant bien révisé Scilab. La question 8.a dans sa forme est une question classique. La question 8.b.i nécessitait de revenir à l’énoncé, puis la 8.b.ii s’appuyait sur le résultat de la 8.a.
Dans la question 10.a, il s’agissait de montrer que W est géométrique, ce qui est intuitif au vu de la définition de W. Le reste de la question 10 demandait d’être très à l’aise sur les probabilités discrètes, souvent peu appréciées par les candidats, et a pu poser problème. Il y avait tout de même des points à prendre, comme dans la question 10.c.ii qui demandait de revenir aux résultats des questions 9, 10.b.ii et 10.c.i !
Troisième partie :
Cette partie étudiait des propriétés du processus de renouvellement. Le sujet était long, et peu de candidats auront sûrement pu arriver jusqu’ici. Pas d’inquiétude donc si tu as peu touché à la partie 3. En revanche, comme dans tout sujet de maths, il y a toujours des points à prendre !
Par exemple, pour les candidats familiers des Indicatrices (dont la définition est rappelée dans la question 13), la question 13.a était abordable, de même que les questions 13.b et 13.c. En revanche, pour les candidats qui n’avaient jamais abordé les Indicatrices, ces questions ont dû être difficiles à traiter. On pouvait même prendre des points gratuits sur la deuxième égalité à montrer de la question 13.d, puisque E(X1) = mu !
Même si l’on ne parvenait pas à traiter les questions 15 et 16, avec du recul (difficile au bout de 4h d’épreuve !) on pouvait traiter 16.d.iii, ou en tous cas 16.d.iv en utilisant pour la question 16.d.iv les résultats des questions 15, 16.d.i et 16.d.iii !
Comme dans tout sujet de maths, il est tout à fait normal de ne pas avoir traité de grandes parties du sujet. Il ne faut pas hésiter à passer les questions sur lesquelles on bloque (quitte à revenir dessus plus tard !), pour aller chercher les points “faciles” !
