La première journée des concours s’achève par la très attendue épreuve maths appliquées emlyon 2024. Même si cette épreuve reste un grand classique pour nombre de candidats, elle n’est pas à négliger, car elle nécessite une rédaction scrupuleuse, vraiment soignée, rigoureuse et les correcteurs seront intransigeants. Retrouve dans cet article l’analyse du sujet de l’épreuve de maths appliquées emlyon 2024.
Si tu n’as pas encore vu le sujet, tu peux le retrouver ici. Pour retrouver toutes les informations sur les concours BCE 2024, consulte notre page dédiée Inside Concours BCE 2024.
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L’analyse du sujet maths appliquées emlyon 2024
Commentaires généraux :
Le format de cette épreuve très attendue par les candidats reste dans la lignée des sujets des années précédentes (l’expérience de 2021 où le sujet ECE avait emprunté le format en deux problèmes des sujets ECS est donc restée sans lendemain) : 3 exercices de tailles équilibrées qui visent à la fois à balayer l’ensemble du programme de Mathématiques Appliquées, tout en restant abordable par la grande majorité des candidats.
Le nouveau programme issu de la réforme semble désormais bien “digéré” par les concepteurs puisqu’on retrouve dès l’exercice 1, le thème apparu à cette occasion des équations différentielles linéaires, tandis que l’exercice 2 propose un énoncé d’algèbre linéaire très classique et formulé de façon très “matricielle”, tandis que l’exercice 3 aura fait pencher la balance cette année vers les probabilités discrètes.
Comme chaque année donc, des choix ont été faits mais dans l’ensemble on peut considérer qu’il n’y a pas de mauvaise surprise quant aux thèmes abordés.
Comme d’habitude aussi, il aura été de bon ton pour les candidats de commencer par lire l’énoncé en entier pour commencer par l’exercice qu’ils pensent maîtriser le mieux pour tirer le meilleur parti de ce sujet dans le temps limité qui leur était accordé.
Exercice 1
Cet exercice se consacre dans sa première moitié, à la résolution d’un système différentiel classique dont les étapes successives, bien agencées, permettent aux candidats ayant bien travaillé ce thème de rentrer dans le sujet en pouvant enchaîner les questions assez rapidement et efficacement.
La question 1 suit l’enchaînement logique de la résolution d’une équation différentielle linéaire d’ordre 1 avec second membre :
a) Résolution de l’équation homogène associée en utilisant directement la forme générale vu en cours
b) Obtention d’une solution particulière de l’équation avec second membre, via une identification des coefficients
c) Résolution de l’équation générale via le théorème de structure de l’ensemble des solutions : toute solution est la somme de la solution particulière de b) et d’une solution de l’équation homogène résolue en a).
Cette première résolution permet ensuite d’envisager la résolution d’un système différentiel d’ordre 1 de deux équations à la question 2.
a) La matrice \(A\) apparaît évidemment dans l’écriture du système : \(A = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\).
Elle n’est pas diagonalisable car en tant que matrice triangulaire, sa seule valeur propre est le réel -1 qui est sur sa diagonale, et le rang de \(A+I_2\) qui vaut 1, assure que le seul sous-espace propre de \(A\) est de dimension \(1<2\).
b) Il suffit de citer le théorème de Cauchy-Lipschitz qui assure l’existence et l’unicité d’une solution au système différentiel avec deux conditions initiales données.
c) est plus subtile mais une jolie question : on voit que la fonction \(y\) suit l’équation différentielle homogène de 1, donc on sait trouver \(y\), et alors \(x\) suit l’équation différentielle \( (E) \) donc on la connait directement.
d) est un simple calcul de deux limites des solutions quand la variable \(t\) tend vers \(+\infty\), on conclut avec le vocabulaire appris en cours.
La question 3 est une question de Python où l’enjeu est de créer une liste des images \( x(t) \) et \( y(t) \) pour des points de référence \(t\) créés dans le vecteur \(T\) : on doit cependant avoir trouvé précédemment les deux bonnes expressions de ces fonctions.
On sait ensuite afficher la trajectoire de la solution via la commande plt.plot(x,y) (liste des abscisses en premier, des ordonnées en second). Remarquons que la convergence de la trajectoire peut être contrôlée sur le graphique obtenu..
Les parties B et C enchaînent ensuite avec des questions complètement indépendantes de la partie A (comme l’énoncé le rappelait en préambule), ce qui permettait aux candidats moins à l’aise sur les équations différentielles, de traiter malgré tout les deux tiers de cet exercice.
La question 4 est très facile; la question 5 demande d’avoir entretenu les souvenirs du cours de première année (voire du lycée) sur la notion de position relative.
La partie C étudie classiquement une suite définie implicitement comme l’unique solution \(u_k\) d’une solution d’équation de paramètre \(k \in \mathbb{N}^*\), qu’on étudie là aussi dès la première année de prépa.
La question 6 fait bien sûr intervenir le théorème de la bijection, qui doit être très rigoureusement cité avec toutes ses hypothèses.
La question 7 se traite avec une comparaison des images des deux réels \(u_k\) et \(\frac{\ln(k)}{k}\) par la fonction \(f_k\) : le sens de variation de cette dernière permet de retrouver la comparaison des antécédents à partir de celle des images.
La question 8 est plus difficile et plus intéressante : il s’agit de repartir de l’équation vérifiée par \(u_k\) en l’écrivant explicitement, pour en déduire une autre relation vérifiée par \(u_k\) : le lien avec la question 7 permettra de montrer que le quotient de \(u_k\) par \(\frac{\ln(k)}{k}\) tend vers 1 quand \(k\) tend vers \(+\infty\), et donc l’équivalence demandée.
La question 9 est une jolie question d’application directe du cours sur le théorème de comparaison des séries à termes positifs : dès que \(k\) est assez grand, en fait dès que \(k \geq 3>e\), alors \(\frac{\ln(k)}{k} \geq \frac{1}{k}\), et la divergence de la série harmonique entraîne par comparaison celle de la série de terme général \(\frac{\ln(k)}{k}\), donc par critère d’équivalence celle de la série de terme général \(u_k\).
Un exercice équilibré donc, plutôt facile avec quelques questions plus subtiles qui permettront aux meilleurs candidats de faire la différence.
Exercice 2
Cet exercice reprend également un grand classique des sujets d’algèbre linéaire dans la voie ECE dont la voie Mathématiques Appliquées est l’héritière.
L’étude du commutant d’une matrice fait en effet partie des figures imposées de ce thème, qui permet de poser les grandes questions incontournables sur les espaces vectoriels, le calcul matriciel et la réduction des matrices carrées.
Question 1) : tout étudiant de première année sait résoudre cette question : le fait que \(A^2 = -I_2\) entraîne que \(A\) est inversible, et que \(A^{-1} = -A\).
Question 2) : la question précédente donne pour \(A\) le polynôme annulateur \(P(x) = x^2+1\) : les valeurs propres de \(A\) figurent parmi les racines de \(P\), mais celui-ci n’en a pas (de réelles en tout cas ^^) : \(A\) n’a donc pas de valeurs propres réelles, et ne peut donc pas être diagonalisable.
La question 3) ne devrait pas poser de difficulté aux candidats sérieusement préparés, de même que la question 4) : c’est encore très classique.
Les deux sous-questions de 5 se traiteront facilement si on tient bien compte du résultat de 4.b) : si \(M\) et \(N\) appartiennent à \(\mathscr{C}\), alors elles s’écrivent sous la forme \(M = a.I_2+b.A\) et \(N = c.I_2+d.M\), et alors leur produit s’écrira, en développant et en tenant compte de 1., sous la même forme ce qui prouvera d’abord qu’elles commutent, puis que \(MN\) appartient encore à \(\mathscr{C}\).
La question 6 restera dans le même esprit : écrire \(M = a.I_2 + b.A = \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}\) permet de calculer \(\det(M) = a^2+b^2\), qui est évidemment non nul dès que \(M\) n’est pas nulle, c’est-à-dire si \(a\) ou \(b\) au moins n’est pas nul. La formule qui donne l’inverse d’une matrice \(2 \times 2\) est sûrement celle qui montre le plus facilement que \(M^{-1}\) est encore de la forme \(c.I_3+d.A\), donc élément de \(\mathscr{C}\).
Une partie très classique donc, mais qui demande tout de même une bonne maîtrise des notions pour s’exprimer de façon correcte et précise (ce qui est souvent la pierre d’achoppement pour les candidats en algèbre linéaire).
La partie B est plus théorique et calculatoire : l’énoncé est de fait davantage guidé. Il y a beaucoup de calculs matriciels littéraux à faire, ce qui permet aux candidats plutôt à l’aise avec la manipulation de ce type de calculs, de faire la différence ici.
La partie C étudie un endomorphisme d’un espace de matrices très classique. La bijectivité de \(\varphi\) et sa réduction (c’est-à-dire l’étude de ses valeurs propres et de ses sous-espaces propres) se fonde essentiellement sur sa représentation matricielle, qui demande le calcul des images de la base canonique de \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) : c’est un peu technique, mais sans piège et à la portée de tout candidat sérieusement préparé sur ces questions.
Exercice 3
C’est donc sur les probabilités discrètes que l’EMLyon aura jeté son dévolu cette année, en reprenant – avec comme toujours des variations – le thème classique du nombre de résultats différents obtenus en un nombre fixé de tirages, déjà tombé sous une autre forme dans cette banque d’épreuves, ainsi qu’à Ecricome.
La variation intéressante vient cette fois de la simulation qui peut en être faite, et qui est tout à fait adaptée avec les fonctions disponibles en Python dans le programme de Mathématiques Appliquées.
Après une question 1) très facile (il fallait reconnaître une loi uniforme sur \(\{1,2,\ldots,N\}\), la première fonction fournie par l’énoncé permet d’ajouter un élément \(x\) à une liste \(L\), à la condition sine qua none que \(x\) n’appartenait pas déjà à \(L\) : c’est une façon simple et efficace de construire, en simulant les tirages successifs, la liste des numéros déjà obtenus au cours des tirages successifs, et donc de compter le nombre de numéros distincts obtenus en \(k\) tirages. On peut même faire perdurer autant que nécessaire, les tirages jusqu’à ce que la liste \(L\) soit de taille \(i\), ce qui arrivera si et seulement si on a vu sortir au moins une fois \(i\) numéros distincts.
Une fois qu’on a écrit cette fonction de simulation, on peut la faire tourner 100 fois (ou plus!) pour calculer la moyenne empirique des valeurs prises par la variable aléatoire \(T_2\) lorsque l’urne contient 3 boules : d’après la loi faible des grands nombres (sous réserve de montrer – c’est fait dans la suite – que cette variable aléatoire possède une espérance et une variance), cette moyenne empirique fournira une approximation de l’espérance de \(T_2\).
Une fois cette partie de simulation (très importante!) réalisée, place dans les parties B et C aux calculs de probabilités théoriques, souvent redoutés des candidats.
Comme souvent, l’énoncé donne un premier palier en étudiant un cas particulier où on peut tout écrire plus facilement et explicitement avec des événements.
La partie C est plus technique, assez bien détaillée par l’énoncé et doit permettre aux candidats qui ont encore de l’énergie à la fin de ce long sujet, de se démarquer, avec plusieurs questions assez techniques vers la fin.
Conclusion
Un sujet de bonne tenue, aux ambitions raisonnables et qui jouera bien sans doute son rôle en départageant efficacement les candidats, dont on espère qu’un maximum d’entre eux aura su sortir satisfaits de leur travail sur ce sujet!
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