La première journée des concours s’achève par la très attendue épreuve maths appliquées emlyon 2025. Même si cette épreuve reste un grand classique pour nombre de candidats, elle n’est pas à négliger, car elle nécessite une rédaction scrupuleuse, vraiment soignée, rigoureuse et les correcteurs seront intransigeants. Retrouve dans cet article l’analyse du sujet de l’épreuve de maths appliquées emlyon 2025.
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L’analyse du sujet maths appliquées emlyon 2025
Exercice 1 :
La première partie est accessible et permet de se familiariser avec la suite, en vérifiant des propriétés classiques comme la croissance et la divergence. Les calculs sont simples, mais les idées sont classiques pour des suites récurrentes.
La deuxième partie introduit une approche matricielle pour une suite récurrente d’ordre 2, ce qui est assez original mais peut surprendre. Cela demande des connaissances en algèbre linéaire, mais reste abordable.
La dernière partie est plus technique, nécessitant l’utilisation d’outils d’analyse asymptotique (téléscopage, encadrements, équivalents).
Partie A : Étude de suite
Cette première partie aborde une suite définie par une récurrence non linéaire impliquant une exponentielle \( u_{n+1} = u_n e^{1/u_n} \). Dès les premières questions, on sent que cette suite va grandir assez vite, mais la rigueur est nécessaire pour en faire la démonstration.
La question 1 commence en 1a) avec une croissance de suite assez triviale. Montrer que \( u_n > 0 \) pour tout \(n\) est assez direct ici, car \( u_0 = 1\) et la récurrence conserve le signe positif. En 1b), l’étude du sens de variation est assez facile : il faut jouer avec les inégalités et la fonction \( x \mapsto x e^{1/x} \) dont on peut étudier le comportement. La question 1c) est légèrement plus technique : la démonstration de la divergence vers \(+\infty\) par l’absurde demande de la précision.
Enfin, la question 2 est une complétion de programme Python. Une question à ne pas négliger ! Elle permet de traduire concrètement le comportement de la suite. Il faut bien comprendre la condition d’arrêt et mettre à jour les variables correctement.
Partie B : Étude de la fonction \( f(x) = x e^{1/x} \)
Cette fonction est au cœur de la récurrence précédente. L’objectif est ici d’analyser son comportement asymptotique, ce qui éclaire le comportement de la suite.
Les questions 3 et 4 correspondent à de la bonne analyse classique. Ce sont des questions faciles à faire absolument pour se garantir les points faciles. C’est intéressant à faire pour bien comprendre les phénomènes en jeu, notamment le minimum de la fonction.
Les questions 5a et b) font ici un détour par la série exponentielle, mais ce n’est pas gratuit. Cela permet un développement asymptotique de \( f(x) \), et justifie l’encadrement utile pour la suite. C’est questions sont des questions classiques d’application directe des formules.
Les questions 6a et b) peuvent déstabiliser certains candidats par leur formulation moins classique. Pour y répondre, il fallait comparer avec la série exponentielle pour établir une borne supérieure, et minorer en isolant le premier terme de la somme (égal à \(\frac{1}{2}\) ) dans le pire des cas pour \( x = 1 \)), puis en observant que les termes suivants sont tous positifs, ce qui garantit que la somme reste strictement supérieure à \(\frac{1}{2}\). La question 6b) repose directement sur le résultat de 6a) : il suffisait d’utiliser l’expression donnée de \( f(x) \), de retrancher \( x + 1 \), puis d’encadrer le reste grâce aux bornes trouvées dans 6a), en divisant par \( x \). C’est une simple application de l’encadrement précédent, adaptée à la forme de la fonction.
La question 7 demandait un développement asymptotique de en \(+\infty\) . Il fallait utiliser le développement limité classique de l’exponentielle en \(\frac{1}{x}\) autour de \( 0 \), le multiplier par \( x \), puis simplifier en ne gardant que les premiers termes dominants. Une bonne maîtrise des DL et des ordres de grandeur suffisait.
La question 8 portait sur la comparaison graphique de avec la droite \( x + 1 \). Il fallait utiliser l’encadrement obtenu en 6b) pour montrer que est toujours un peu au-dessus de \( x + 1 \) et que l’écart tend vers \( 0 \) quand \( x \to +\infty \), ce qui justifie que la courbe est asymptote à la droite par le haut.
Partie C : Comportement asymptotique de la suite \((u_n)\)
Les questions 9 et 10 représentent un travail autour du logarithme : un classique, mais pas évident. On commence par une relation de récurrence sur
, puis on transforme cette relation en une relation sur \(\ln(u_n)\). Cela nécessite de bien maîtriser les sommes télescopiques, le passage au logarithme, et les encadrements précis (issus de la partie B).
La question 11 est une question très importante. Il faut ici réinvestir les résultats précédents, notamment que
\(\frac{\ln(u_n)}{u_n} \to 0\), ce qui permet de négliger le logarithme face à
, et ainsi de trouver un équivalent simple de
Enfin, la question 12 est un équivalent d’une somme : un bonus très intéressant, qui prolonge le raisonnement précédent. Plus difficile, mais excellente pour ceux qui veulent viser les meilleures notes. En se servant du fait que \(\ln(u_n) \sim \sum \frac{1}{u_k}\) et que \( u_n \sim n \), on en déduit que la somme est équivalente à \(\ln(n)\).
Exercice 2 :
La partie algèbre propose une montée progressive dans la diagonalisation simultanée, utile mais peu vue en préparation standard.
La partie graphe est plus classique (coloration gloutonne), et très utile pédagogiquement. La séparation en petites fonctions rend l’approche très modulaire et progressive. Les graphes sont nouveaux au programme depuis 3 ans et sont donc très à la mode pour les concours !
Partie A : Réduction simultanée et spectre
La 1) est une question standard de vérification d’indépendance linéaire et génération d’un espace vectoriel. Il faut montrer que les matrices sont linéairement indépendantes et qu’elles engendrent bien un espace de dimension 3.
Similairement, la 2) est aussi une application directe des critères de diagonalisabilité (polynôme caractéristique scindé à racines simples par exemple). Il suffit de calculer les spectres. Pas de piège ici !
Les questions 3a et b) ne sortent pas non plus des sentiers battus. On retrouve ici un calcul d’endomorphisme nilpotent ou diagonalisable dans une base canonique. Il faut exploiter les puissances de la matrice J. Puis, en s’appuyant sur la relation \( J^3 = \lambda J \), on en déduit les valeurs propres par résolution de l’équation caractéristique.
La question 4a est une question de vérification triviale. La b est un peu plus exigeante car il faut résoudre \((J + \sqrt{2} I) X = 0\), mais reste du standard pour qui maîtrise les valeurs propres.
La 5a) n’est pas difficile mais nécessite de montrer que ces vecteurs sont libres et générateurs, typique des exercices d’application du changement de base en dimension 3. Par la suite, la b est aussi un classique : diagonalisation par passage à la base propre. Les colonnes de \( P \) sont \( U_i \). Il faut bien poser la définition.
La question 6 peut être éventuellement déstabilisante. La subtilité est que \( J \) et \( K \) commutent, donc sont simultanément diagonalisables. Cela explique pourquoi la base propre de \( J \) est aussi propre pour \( K \). Puis conséquence directe de la diagonalisation conjointe. Une fois la base propre trouvée, il suffit d’appliquer.
La question 7 est technique mais standard. Cela revient à calculer une matrice dans une base de vecteurs propres : un classique de 2e année de prépa. Les valeurs propres sont directes après diagonalisation.
Enfin, la question 8 permet de passer d’une base matricielle à une base canonique en calculant l’application linéaire définie par la combinaison linéaire des matrices. Pour la bijectivité, Il faut ici prouver que l’application est un isomorphisme, donc que la matrice associée est inversible. Un critère classique de bijectivité linéaire.
Partie B : Coloration de graphes
La question 9 est une introduction algorithmique très classique : construire la liste des voisins à partir d’une matrice d’adjacence. Très guidé.
Dans la même veine, la 10 est de l’algorithmique simple, mais logique à bien suivre : on cherche le plus petit entier qui n’est pas dans une liste. C’est une fonction de base utile en coloration gloutonne.
La 11 est le cœur de la question. On met tout ensemble : pour chaque sommet, on regarde les couleurs des voisins, on choisit la plus petite couleur disponible. C’est une stratégie gloutonne, standard mais formatrice.
Enfin, pour la question 12, il faut observer les cycles, les connexions, etc. Peut déstabiliser si ces exemples n’ont pas été vus.
Exercice 3 :
La partie A est classique : densité d’une variable transformée, étude d’existence d’espérance et de variance.
La partie B sur les valeurs extrêmes est excellente, exigeante.
La partie C (SQL) est très accessible et fait redescendre la pression entre deux parties techniques. Cependant, il faut avoir pensé à avoir révisé ces notions très souvent mises de côté quoique à la mode depuis leur introduction dans le programme.
La partie D est un bel exercice de probabilités : parfaite illustration des mélanges de lois et des conditionnements.
Partie A : La variable aléatoire \( V \)
La question 1 commence par un classique des probabilités à densité. \( U \) est sur \((0, 1)\), donc \( V \) est dans \((1, +\infty)\). Rien de piégeux ici. Puis on fait la dérivation standard à partir de\( F_V(x) = P\left( \frac{1}{U} \leq x \right) = P\left( U \geq \frac{1}{x} \right) \). Un classique de changement de variable sur une densité uniforme. Enfin, une fois la fonction de répartition connue, on la dérive. Bonne illustration du lien entre \( F_V \) et \( f_V \).
La question 2 est plus technique : intégrales impropres à calculer ou à estimer. Typiquement, ici, on trouve que l’espérance existe mais la variance diverge. Ce genre de question peut être piégeux pour les candidats qui ne regardent pas la décroissance assez finement.
Partie B : Loi du sinistre le plus coûteux
La question 3a) est classique. La fonction de répartition du maximum de variables i.i.d. est le produit des lois marginales. Bonne question de cours. La b) n’est pas beaucoup plus compliquée : c’est un exercice de limite point par point, dépendant de la valeur de \( x \). Il faut distinguer les cas \( x < 1 \), \( x = 1 \), \( x > 1 \), car \( V \in (1, +\infty) \). La c) est elle plus déstabilisante : on demande d’aller plus loin que l’étude de \( F_n \), et de conclure sur l’inexistence d’une variable limite. Très formateur sur les limites en loi.
La question 4a) normalise \( M_n \) pour obtenir une limite non triviale, ce qui donne une convergence vers une loi de type Fréchet, bien connue en théorie des valeurs extrêmes. Bonne opportunité de croiser les idées (changement de variable, convergence faible). Une fois la convergence de \( G_n \) montrée, il s’agit juste de réinterpréter cette convergence comme une convergence en loi. Belle conclusion ouverte sur les lois limites.
Partie C: Manipulation d’une base de données (SQL)
Cette partie porte sur la manipulation d’une table SQL nommée sinistres, qui contient des données sur les indemnisations versées par une compagnie d’assurance entre 2000 et 2024. Les colonnes de cette table sont : id, annee, mois, montant.
C’est une application directe du cours tout du long ! C’est points feront la différence parmi les élèves s’étant penchés sur SQL ou pas !
Partie D : Nombre de sinistres graves
On reconnaît dans la question 7) une somme de variables indicatrices avec un total de \( n \) tentatives. Si \( N \) suit une loi de Poisson, alors \( T \mid (N = n) \)
La question 8 est une question très simple en apparence, mais qui force à réfléchir sur les valeurs possibles d’une variable dépendante d’un autre aléa.
La question 9 montre que conditionnellement,
est le nombre de succès dans une suite de tirages i.i.d., ce qui donne la loi binomiale. Application directe mais nécessite d’avoir bien compris la structure probabiliste.
La 10 nous ramène à des classiques. Ce sont des points à prendre pour le candidat arrivant jusqu’ici. La formule de la binomiale suivie une convolution de la Poisson et de la Binomiale, ce qui donne une loi composée. Plus technique à la fin.
On termine alors sur une question d’espérance composée : \( E[T] = E[E[T \mid N]] = \lambda p \)
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