Découvre cette année la première analyse de la nouvelle édition des maths approfondies Ecricome 2024 !
Tu peux retrouver le sujet de maths approfondies Ecricome 2024. Le lien pour se préparer à l’épreuve est ici.
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Analyse du sujet de maths approfondies Ecricome 2024
La forme de ce sujet Ecricome approfondies 2024 est restée classique et confirme la forme adoptée en 2023 après la réforme. En effet, on retrouve deux exercices puis un problème. Le premier exercice porte sur la somme de Riemann ainsi que sur la convergence de différentes séries. L’exercice deux se concentre sur l’études des polynômes de Lagrange avec de l’algèbre bilinéaire et linéaire. Quant au problème, il porte sur des variables aléatoires à densité et sur la loi de Cauchy de paramètre \(a > 0.\)
Globalement, le sujet aborde des questions et des thèmes classiques que les préparationnaires les plus assidus auront déjà traités dans des annales ou dans des exercices.
Exercice 1 : Étude de la série de Riemann et de convergence de séries
On commence le sujet avec une question de cours où il faut distinguer le cas de convergence lorsque \(\alpha >1\) et le cas de non convergence lorsque \( \alpha\) est inférieur ou égal à 1. La question 2) a) nécessite de dériver \(t \to \displaystyle \frac{1}{t^2} \) pour montrer la décroissance de cette fonction, cela nous permet de montrer l’égalité demandée. La 2) b) demande de sommer l’égalité de la 2) a) et de faire un calcul d’intégrale. Quant à la 3), il faut utiliser le fait que \(S_n – S = – R_N\), grâce à la 2) b) on trouve que \(10^3\) convient. Pour la 4) a) et la 4) b) il faut également utiliser la relation précédente et s’appuyer de l’inégalité triangulaire et du résultat de la 3).
La cinquième question nous demande de trouver que la suite étudiée est équivalente à \(\displaystyle \frac{1}{n^{p+1}}\) ce qui nous permet d’affirmer par critère de comparaison de séries de termes positifs que la série converge. Pour la 6) on trouve par calcul \(a = 1 \; \text{et} \; b=-1\) donc le terme demandée vaut 1. Pour la 7) on trouve aussi par calcul que \(u_n(p-1)-u_{n+1}(p-1)=pu_p(n),\) donc \(U(p)=\displaystyle \frac{u_1(p-1)}{p} = \frac{1}{pp!}.\)
La question 8) demande de faire une récurrence sur l’entier naturel \(p\) et nécessite du calcul en ramenant les différents termes au même dénominateur. La question 8) b) est une application de la 8) a) en montrant que les différentes sommes convergent. La question 9) nécessite d’appliquer un raisonnement analogue à la question 2) (un cas similaire où \(p=0.\)) Pour la 10) on peut décomposer en élément simple la fraction et aboutir au résultat final. Dans le graphique de la 11) on observe que les séries ne convergent pas à la même vitesse.
Exercice 2 : Les polynômes de Lagrange
Partie I
La première question sur les polynômes de Lagrange demande de savoir qu’un polynôme de degré inférieur ou égal à \(n\) avec \(n+1\) racines distinctes est le polynôme nul. Le théorème du rang permet de démontrer la bijectivité de l’application et le résultat de la 1) b) qui utilise la surjectivité. La 2) a) est un cas particulier de la 1) b) et la 3) nécessite d’appliquer la définition de la 2) a) et d’utiliser les racines du polynôme. Pour la 4) il suffit d’utiliser l’indication du sujet sur l’unicité d’un certain polynôme.
La question 5) est une question de cours et la question 6) demande de calculer le produit scalaire pour les couples \( (L_i, L_i) \) et \( (L_i,L_j)\) où \(i\) est différent de \(j.\) Pour montrer le résultat de la 7) il faut calculer \( \displaystyle \sum_{i=0}^nP(x_i)L_i(x_j).\)
Partie II
Pour obtenir les polynômes demandés dans la 8) a) il faut utiliser ceux calculés dans la 3). La 8) b) est une application de la 7). la matrice étudiée est une matrice de passage entre 2 bases donc est inversible, son inverse s’obtient en exprimant \(L_i\) grâce aux \(N_j.\) La famille de la 9) contient \(n+1\) polynômes de degrés 2 à 2 différents, cela permet de montrer le résultat attendu.
Pour obtenir l’égalité de la 10) a) il suffit d’évaluer les deux termes en chaque \(x_i.\) Quant à la 10) b) elle s’obtient par calcul et la 11) s’obtient en utilisant le lien entre les \(L_i\) et les \(N_j\). La 12) est une application directe de la 9).
Les questions de Python 13) a), b) et c) peuvent se faire à l’aide de if, else, de boucles for et avec la bibliothèque numpy.
La 14) a) se fait à l’aide de la définition des \(a_k\) et des \(N_k\). La 14) b) utilise la définition des \(y_i\) et le résultat de la 7). La 14) c) découle de la 14) a) et de la 14) b) en utilisant le fait que c’est le coefficient du monôme de degré \(n.\) La 15) a) fait intervenir les degrés des \(N_k\) et la 15) b) se fait par calcul. La 15) c) nécessite d’utiliser le résultat de la 15) b) et la définition de \(P_k\). La 15) d) nous fait utiliser le même raisonnement que dans la 14) b).
Problème sur la loi de Cauchy
Partie I
La question 1) invite à montrer soigneusement que la fonction étudiée est une densité de probabilité. La deuxième question est un calcul de primitive qui se fait avec \(\arctan\) qui est une primitive de \(x \to \displaystyle \frac{1}{1+x^2}.\) Dans la 3) nous pouvons affirmer qu’une telle variable n’admet pas d’espérance en utilisant le critère de Riemann. Le résultat de la 4) se montre en effectuant des calculs avec la fonction de répartition de \(X.\)
Les questions 5) a), b) et c) consistent à montrer par calcul la valeur de plusieurs coefficients. Il faut ramener les fractions au même dénominateur pour ensuite identifier les coefficients aux numérateurs de chaque membre de l’égalité. Quant à la 5) d), il faut montrer qu’une fonction est une primitive d’une autre fonction, il faut donc la dériver pour obtenir \(g.\) La question 6) a) peut se faire en deux temps, premièrement en calculant une densité de \(X+Y\) avec le produit de convolution puis en calculant la fonction donnée et en vérifiant que ça soit les mêmes. On peut obtenir le résultat de la 6) b) avec la définition d’une telle loi et du résultat de la 6) a).
La question 7) demande de faire une récurrence qui nécessitera l’utilisation du lemme des coalitions.
Partie II
La première question de la partie II consiste à faire un calcul avec la fonction de répartition de \(Y\). Quant à la 9) il faut utiliser le résultat de la 8) et la bibliothèque python random. Les questions pythons 10) et 11) étaient assez faciles : la 10) consiste à appliquer \(n\) fois la fonction de la 9) et la question 11) utilise la fonction de la 10). La question 12) demande d’expliquer l’impact d’une moyenne sur un graphique.
Partie III
La loi de la première question de la partie III est une loi de Bernoulli de paramètre \(F(M)-F(-M)=2F(M)\) (car \(F\) est impaire), il faut ensuite utiliser l’expression de \(F\) trouvée dans la 2). La question 14) peut se résoudre avec la loi faible des grands nombres.
Pour la 15) a) il faut utiliser le fait que \(\arctan\) est majorée par \(\displaystyle \frac{\pi}{2}\) et étudier \(x(1-x)\) où \(x\) varie entre 0 et 1. Pour la 15) b) il faut montrer à l’aide de la densité d’une variable aléatoire suivant une loi normale que sa fonction de répartition est bijective, cela nous permet d’affirmer le résultat attendu. Pour les questions 15) c) et 15) d), il est possible d’appliquer le théorème limite central. Dans la 16), plus \(n\) est grand et plus l’intervalle est réduit et pour la 17) \(M\) doit être le plus faible possible.
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