La première journée des concours s’achève par la très attendue épreuve de maths approfondies emlyon 2025. Même si cette épreuve reste un grand classique pour nombre de candidats, elle n’est pas à négliger, car elle nécessite une rédaction scrupuleuse, vraiment soignée, rigoureuse et les correcteurs seront intransigeants. Retrouve dans cet article l’analyse du sujet de maths approfondies emlyon 2025.
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L’analyse du sujet maths approfondies emlyon 2025
Le sujet emlyon 2025 reste fidèle à la tradition : deux problèmes longs. Ce sujet couvre une large partie du programme ce qui en fait un sujet d’entrainement intéressant. Le Problème 1 mêle analyse et algèbre avec une étude d’intégrales et une récurrence qui exploitent la formule de Stirling puis une exploration des polynômes orthogonaux via un produit scalaire (défini par intégration). Le Problème 2, probabiliste, s’appuie sur la loi de Cauchy et des transformations de variables aléatoires et une analyse fine de convergence jusqu’à un résultat de concentration. La maîtrise des outils Python est également mobilisée dans les deux problèmes.
Problème 1 : Intégrales et polynômes orthogonaux
Ce premier problème articule deux parties complémentaires : une étude classique de suites définies par des intégrales, avec un lien asymptotique via la formule de Stirling, puis une étude algébrique plus poussée sur les polynômes orthogonaux, leurs propriétés spectrales et leur structure dans un espace vectoriel normé. Ce mélange d’analyse et d’algèbre constitue une très bonne révision de notions fondamentales du programme.
Partie I – Une suite d’intégrales
On introduit deux suites \((I_n)\) et \((J_n)\), définies via des intégrales polynomiales.
1. Il fallait ici remarquer que \(I_n\) est une intégrale sur \([0,1]\) d’une fonction continue, donc bien définie. Quant à \(J_n\), il s’exprime immédiatement par symétrie : \(J_n = 2I_n\) car l’intégrande est paire.
2. Il s’agissait d’un simple calcul d’intégrale polynomiale : \(\displaystyle I_0 = \int_0^1 1 \, dt = 1.\)
3. Montrer que \(I_n\) est décroissante repose sur le fait que \(1 – t^n\) diminue point par point quand \(n\) augmente, pour \( \displaystyle t \in [0,1].\)
4. L’intégration par parties est ici essentielle. On pose \(\displaystyle u = 1 – t^2\), \(dv = t^{n-1}dt\), ce qui conduit à la relation \(\displaystyle I_n = \frac{2n}{2n+1} I_{n-1}\).
5. Par récurrence, on peut exprimer \(I_n\) sous forme d’un produit télescopique.
6. Pour compléter la fonction Python, il fallait coder la récurrence ou la formule explicite. On pouvait par exemple écrire : “for k in range(1,n+1):” suivi de “i *= (2*k)/(2*k+1)” correctement intenté.
7. L’utilisation de la formule de Stirling est ici classique pour approximer \(n!\) : on en déduit un équivalent de \(J_n\) en simplifiant les factoriels double. On obtient :
\[
J_n \sim \frac{\pi}{\sqrt{n}}.
\]
Cela constitue une belle application d’analyse asymptotique.
Partie II – Des polynômes orthogonaux
Cette partie exploite la structure d’espace vectoriel de \(\mathbb{R}_n[x]\) et l’introduction d’un produit scalaire intégral défini sur \([-1,1]\).
8. Il s’agissait de vérifier les trois propriétés d’un produit scalaire : bilinéarité, symétrie et positivité, toutes évidentes ici par linéarité et positivité de l’intégrale.
9. Les \(e_k = x^k\) ne sont pas orthogonaux pour ce produit scalaire, comme on le montre en calculant, par exemple, \(\displaystyle \langle e_0, e_1 \rangle = \int_{-1}^{1} x \, dx = 0\), mais \(\langle e_0, e_2 \rangle \ne 0\). On obtient donc une réponse négative avec un contre-exemple explicite.
10. L’application \(u(P) = ((1 – x^2)P’)’\) est bien linéaire : il s’agit de la composée de deux opérateurs linéaires. Montrer que \(u\) est un endomorphisme de \(\mathbb{R}_n[x]\) revient à vérifier que la dérivée d’un polynôme de degré \(n\) reste dans l’espace.
11.
– a) En dérivant \(e_0 = 1\) et \(e_1 = x\), on obtient \(u(e_0) = 0\), \(u(e_1) = -2e_1.\)
– b) La dérivation multiple conduit à une belle récurrence sur les \(e_k.\)
– c) Il en découle que \(u\) est diagonalisable avec valeurs propres explicites : les sous-espaces propres sont de dimension 1.
12. Cette question est clé : elle utilise l’orthogonalisation de Gram-Schmidt pour construire une base de vecteurs propres orthonormés de \(u.\)
13. Il s’agit ici d’un classique problème de projection orthogonal dans un sous-espace : le polynôme \(T_n\) est la projection orthogonale de \(f\) sur \(\mathbb{R}_n[x].\) On utilise les propriétés de la base \(L_k\) pour exprimer \(T_n\) avec les coefficients associés.
14. Cette dernière question est technique mais très classique :
– a) On détermine que \(Q_k\) est de degré \(k\) avec un coefficient dominant \(\frac{(2k)!}{k!}.\)
– b) Il suffit d’appliquer la dérivation.
– c) L’identité donnée est fondamentale pour montrer que \(Q_k\) est un vecteur propre de \(u\).
– d) On retrouve une forme intégrale de produit scalaire adaptée à ces polynômes.
– e) Vérifications techniques par récurrence pour conclure sur les normes \(\|Q_k\|\) et \(\|L_k\|\).
Cette partie est très discriminante : elle mélange raisonnement algébrique, manipulation de suites de polynômes, et une bonne maîtrise des outils de projection dans les espaces euclidiens de fonctions.
Problème 2 : Loi de Cauchy, variables indicatrices et convergence
Ce second problème, de nature probabiliste, est composé de deux parties. La première repose sur une étude approfondie de la loi de Cauchy, une loi remarquable par ses propriétés atypiques. Elle inclut également une composante numérique importante. La seconde partie, plus théorique, introduit une version raffinée du théorème des grands nombres, en s’appuyant sur une construction ingénieuse à base de variables indicatrices.
Partie I – Loi de Cauchy
1. Il fallait vérifier que la fonction \(\displaystyle f(x) = \frac{1}{\pi(1+x^2)}\) est bien une densité : elle est positive et son intégrale vaut 1 sur \(\mathbb{R}\), ce qui peut se faire par changement de variable classique (tangente).
2. La loi de Cauchy ne possède ni espérance ni variance. Une simple étude de convergence des intégrales \(\displaystyle \int x f(x) dx\) et \(\displaystyle \int x^2 f(x) dx\) suffit à conclure : elles ne convergent pas.
3. Il s’agissait de déterminer la fonction de répartition \(F\), puis son inverse. En posant \(\displaystyle F(x) = \frac{1}{\pi}\arctan(x) + \frac{1}{2}\), on en déduit une expression de \(F^{-1}(y)\).
4.
– a) Le changement de variable \(Y = F^{-1}(U)\), où \(U \sim \mathcal{U}(0,1)\), permet de simuler une loi de Cauchy. Il s’agit d’un résultat classique en simulation.
– b) Il fallait écrire une fonction Python générant des valeurs suivant une loi de Cauchy à partir d’un tirage uniforme.
5. En posant \(\displaystyle Z = \sqrt{|X|}\), on justifie que \(Z\) est une variable à densité par transformation via une fonction continue d’une variable continue.
6. Il s’agit ensuite d’étudier l’existence des moments : \(Z\) admet une espérance, mais pas de variance. Une analyse d’intégrabilité de \(z^2 f_Z(z)\) est ici suffisante.
7. L’objectif est de calculer \(E(Z)\). Cette question est guidée et fait intervenir un calcul d’intégrale très structuré. La difficulté est modérée si l’on suit les étapes proposées.
– a) Il fallait identifier une combinaison linéaire de trois fractions rationnelles égales à \(\displaystyle \frac{x}{x^2 – \sqrt{2}x + 1}\), etc.
– b) L’intégration par changement de variable affine est suggérée, ce qui donne \(\displaystyle \int_0^{+\infty} \frac{dx}{x^2 – \sqrt{2}x + 1} = \frac{\pi}{2\sqrt{2}}.\)
– c) Par combinaison linéaire, on en déduit finalement que \(\displaystyle E(Z) = \sqrt{2}.\)
8. La partie informatique est ici très importante : une simulation numérique permet d’estimer la probabilité que la moyenne empirique de \(Z\) s’écarte trop de sa valeur attendue. Le code Python exploite la fonction définie précédemment et simule plusieurs moyennes de \(Z\). Les résultats affichés permettent d’émettre une conjecture de convergence en probabilité de \(\bar{Z}_n\) vers \(\displaystyle \sqrt{2}.\)
Partie II – Variables indicatrices et convergence
Cette seconde partie s’appuie sur une construction astucieuse, introduisant les variables \(Y_k\) et \(Z_k\), tronquées à l’aide d’une indicatrice.
9. Il s’agissait de reconnaître que la variable \(1_A\) suit une loi de Bernoulli de paramètre \(p = P(A)\), et donc d’en donner l’espérance et la variance.
10.
– a) Il fallait établir que \(\mathbf{1}_{X \leq x} = \chi_{]-\infty,x]}(X(\omega))\), ce qui revient à la définition même de l’indicatrice.
– b) La fonction \(\varphi_x(y) = \chi_{]-\infty,x]}(y)\) est en escalier, avec une discontinuité en \(x\).
11. Cette question invite à reconnaître que \(X_k = Y_k + Z_k\), puisque l’indicatrice \(1_{|X_k|\leq M} + 1_{|X_k|>M} = 1.\)
12. Comme \(Y_k = X_k \cdot 1_{|X_k|\leq M}\), on a bien \(Y_k^2 \leq M^2\), donc \(Y_k\) admet un moment d’ordre 2.
13.
– a) Il fallait utiliser la linéarité de l’espérance et montrer que \(E(Z_k) \to 0\) lorsque \(M \to \infty\).
– b) On en déduit alors que \(E(\bar{Z}_n) \to 0.\)
– c) Puis, par linéarité, \(E(\bar{X}_n) \sim E(\bar{Y}_n).\)
14. L’inégalité \(|x + y|^2 \leq 2(|x|^2 + |y|^2)\) est à utiliser pour borner la variance de la moyenne.
15. Cette question technique permet d’exprimer la variance de la moyenne \(\bar{X}_n\) sous forme d’une double somme.
16.
– a) Il fallait combiner les bornes précédentes pour obtenir \(E(\bar{Y}_n^2) \leq M^2/n + E(Y_1^2).\)
– b–e) En optimisant \(M\) puis \(n\), on aboutit à une majoration de la probabilité que \(\bar{Y}_n\) s’écarte trop de 0 : c’est une inégalité de concentration.
17. On démontre que \(\displaystyle E(\bar{Y}_n^2) = \frac{1}{n} \left( \sum_{k=1}^n E(Y_k^2) + \sum_{1 \leq i < j \leq n} E(Y_i Y_j) \right),\) ce qui complète les bornes précédentes. 18. En exploitant la borne sur \(P(|\bar{Y}_n| > t/2)\), on conclut sur celle de \(P(|\bar{X}_n| > t).\)
19. On en déduit la convergence en probabilité de \(\bar{X}_n\) vers 0 : c’est une version modifiée de la loi faible des grands nombres, adaptée à des variables non intégrables (comme ici, la loi de Cauchy).
20. Enfin, il fallait comparer ce résultat à la loi des grands nombres classique et commenter la pertinence de la méthode numérique utilisée à la question 8. Le résultat numérique devient ici une illustration empirique de la convergence démontrée rigoureusement dans cette deuxième partie.
Ce deuxième problème, bien qu’abstrait, est extrêmement formateur : il confronte les étudiants à des cas où les outils classiques échouent, et les force à adapter les méthodes pour retrouver des comportements de convergence. C’est un exemple intéressant de rigueur probabiliste appliquée à un modèle atypique.
Conclusion
Ce sujet emlyon 2025, bien qu’impressionnant par sa longueur, n’était pas fondamentalement difficile sur le plan technique. Il reposait sur des notions classiques du programme (intégration, polynômes orthogonaux, projection, convergence) et les exploitait dans un cadre rigoureux mais accessible. Les étudiants à l’aise avec les raisonnements par récurrence, les changements de variable et les structures algébriques pouvaient aller très loin dans le sujet.
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