L’épreuve de maths BSB est spécifique aux ECT et compte pour beaucoup dans l’admissibilité de certaines écoles. Nous te proposons une analyse du sujet dans cet article.
Tu peux retrouver ici le sujet qui est tombé cette année.
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L’analyse du sujet BSB ECT 2025
Comme chaque année le sujet de Maths ECT BSB compte pour 9 écoles, avec un coefficient variant entre 3 et 4 pour chacune d’entre elles. Il comportait 4 exercices reprenant le programme avec un exercice matriciel, l’étude d’une fonction, les probabilités, des suites et enfin des intégrales (en supplément d’une étude d’une fonction de répartition).
Exercice 1 :
Il était sûrement le plus simple des exercices de ce sujet. Un déroulement d’exercice matriciel classique sans réelle difficulté. Le raisonnement par l’absurde (consistant à démontrer la vérité d’une proposition en prouvant l’absurdité de la proposition contraire) pouvait perturber certains candidats mais rien d’alarmant. La difficulté se trouvait davantage dans les dernières questions et l’introduction de la matrice F et les questions 13, 14 et 15.
Cet ensemble de questions porte sur la recherche d’un point fixe et l’étude de la dynamique autour de ce point.
La difficulté principale en (12) est de bien formuler et résoudre l’équation matricielle F= AF+B.
En (13), il faut manipuler correctement la définition de la suite pour établir une relation sur
Xn −F, en évitant les erreurs de calcul. Le raisonnement par récurrence est donc le plus logique dans ce genre de situation.
En (14), le défi est d’itérer proprement la relation pour exprimer Xn à l’aide d’une puissance de A. Il faut pour cela se servir de la réponse à la question précédente.
Enfin, en (15), il s’agit d’en déduire les termes généraux des suites (Un, Vn et Wn) en projetant le vecteur Xn sur ses composantes. La raisonnement général est donc d’abord de trouve un équilibre (le point fixe F), puis étudier les écarts de cet équilibre en analysant Xn – F.
Les difficultés résident principalement dans la rigueur des calculs matriciels et dans l’interprétation du lien entre Xn et ses composantes.
Exercice 2 :
Dans cet exercice 2 on retrouve la partie Maths Informatique du sujet (bien moins présente que dans le sujet BCE). Mais on retrouve aussi et surtout, l’étude d’une fonction dans la partie 1 et 2 et enfin une partie plus complexe avec l’introduction dans ce sujet des intégrales.
La 1ère question, est comme bien souvent la plus simple, il suffit de remplacer les x par des 2 puis de donner le résultat sous la forme d’une fraction que l’on ne peut plus réduire.
Les questions 2 et 3 sont toutes aussi classiques avec des limites en +∞ et -∞ (il suffit de prendre les polynômes de plus haut degré). Pour dresser la tableau de variation il fallait effectuer la dérivée de la fonction f. Sachant que ce n’était pas demandé explicitement (contrairement aux années précédentes) cela a pu piéger certains candidats.
On retrouve ensuite la partie Python qui n’était pas simple, surtout la question 6 qui demandait les calculs à la main, mais ceux-ci étaient enfaite réaliser (ou en partie) plus tôt dans l’exercice.
La deuxième partie, très courte, n’avait aucune difficulté, on vous demandait premièrement de trouve que -1 était une racine de g donc que g(-1) = 0 (en substituant donc les x par des -1 dans la fonction g). Ensuite de trouver le polynôme tel que g(x) = (x+1)q(x) en vous servant de la division euclidienne.
Enfin on pouvait conclure en trouvant les racines de g (donc tous les x pour lesquels g(x)=0). Nous avions déjà la réponse -1 (trouver à la première question) puis il fallait déterminer les racines du polynôme de second degré en faisant Δ = b^2 – 4ac.
La troisième partie et donc la dernière de cet exercice, commençait par l’étude d’une intégral de la fonction g.
(10) On commence tranquillement : il faut intégrer une fonction polynomiale entre −1 et 1
Il suffit d’exprimer clairement g, faire une primitive, et faire attention aux signes lors du calcul aux bornes.
(11) On vérifie que deux points appartiennent à toutes les courbes de la famille. Concrètement, il faut remplacer les coordonnées dans l’équation des courbes et montrer que l’égalité est toujours satisfaite. Une substitution propre suffit.
(12) On cherche à dresser un tableau de signes d’une fonction différence. Pour ça, il faut factoriser ou utiliser la méthode du discriminant si besoin, trouver les racines et regarder les variations de signe entre elles.
(13) Ici, il faut calculer une aire délimitée par deux courbes et des droites verticales. Cela revient à intégrer la différence entre les deux fonctions sur l’intervalle donné, après avoir déterminé qui est au-dessus de l’autre.
(14) On veut trouver un troisième point commun entre deux courbes. Le principe : poser l’égalité entre leurs expressions, résoudre l’équation, et déterminer les coordonnées du point ainsi trouvé.
(15) Enfin, on analyse une suite définie par une racine d’un polynôme. L’idée est de factoriser intelligemment Pm (x)(comme l’indication le suggère), étudier ce qui se passe quand m grandit, et montrer que la racine se rapproche de 1 sans tomber dans les pièges classiques (pas confondre comportement local et global).
Exercice 3 :
L’exercice des probabilités est sûrement l’un des plus redouter par les candidats pour autant celui proposé cette année était abordable bien que piégeux tant il introduisait de nombreuses Variables.
Ici, on lance trois jetons particuliers : bleu, rouge, jaune, vert, et on analyse deux choses : le nombre de couleurs visibles (X) et le produit des numéros affichés (Z). C’est un vrai terrain de jeu de probabilités élémentaires !
- (1) On te demande de trouver la loi de X, c’est-à-dire pour chaque valeur de X donner sa probabilité. Pour cela, énumérer tous les cas possibles et compter combien donnent 1, 2 ou 3 couleurs différentes.
- (2) Ensuite, trouver les valeurs possibles de Y. Ici pas de piège : liste toutes les combinaisons de couleurs différentes qu’on peut voir en fonction des résultats des jetons.
- (3) Ici, on te demande une égalité entre deux événements. Il faut bien comprendre qu’avoir 3 jetons visibles d’une même couleur ou 3 couleurs différentes, ce sont deux faces d’une même pièce. Penser en termes d’ensembles.
- (4) Même raisonnement qu’en (3), mais avec 2 couleurs visibles. Il faut bien visualiser les cas où deux couleurs apparaissent parmi trois faces.
- (5) Déduire la loi de Y à partir des questions précédentes : simple redistribution des probabilités trouvées pour chaque cas.
- (6) Montrer l’espérance : ici, appliquer la formule classique de l’espérance pour une variable discrète. Attention à bien utiliser ta loi trouvée en (5).
- (7) Calculer la variance : rien de sorcier, utiliser Var(Y)=E(Y^2)−(E(Y))^2, en pensant bien à calculer E(Y2) proprement. C’est une formule de cours a appliquer en pensant à citer la formule de König-Huygens
- (8) On liste précisément tous les cas favorables à un événement donné. C’est un peu fastidieux mais systématique : penser à utiliser une notation compacte (par exemple avec les couleurs visibles).
- (9) Dernière étape : remplir un tableau de loi conjointe. C’est du comptage minutieux d’issues en fonction de X et Y. Attention à bien vérifier la cohérence des lignes et colonnes (somme des probabilités = 1 !).
- (10) On te demande la covariance (X,Y). Pas de magie : utilise la formule :
- Cov(X,Y)=E(XY)−E(X)E(Y)
Tu as normalement E(X), E(Y) et tu peux trouver E(XY) grâce au tableau des lois conjointes de X et Y(tu fais une somme pondérée des produits (i×j). C’est du calcul mécanique mais qui demande beaucoup d’attention.
- (11) Question classique : X et Y sont-ils indépendants ?
Regarde si, pour chaque couple (i,j), tu as bien P(X=i et Y=j)=P(X=i)×P(Y=j)
Un seul contre-exemple suffit pour montrer qu’ils ne sont pas indépendants. Pas besoin de tout tester si tu en trouves un rapidement !
- (12) Tu dois ici lister les 8 valeurs possibles d’une nouvelle variable Z.
Pour cela, tu regardes tous les produits possibles des faces visibles des jetons (attention aux doublons). Ça demande d’être systématique pour ne rien oublier ! Sûrement l’une des questions les plus difficiles de l’exercice.
- (13)Pour l’espérance de Z, même routine : E(Z)=z∑ z×P(Z=z)
Tu appliques ta loi de Z trouvée juste avant. C’est mécanique mais très lourd si tu t’es trompé sur les valeurs possibles au (12).
C’était un exercice vraiment faisable mais qui demandait de vraiment bien connaître son cours et l’introduction de plusieurs Lois et de plusieurs variables pouvaient déstabiliser certains mais pas d’inquiétude à avoir.
Exercice 4 :
Un exercice court mais sans aucun doute le plus complexe avec une fonction G(x) = (x+1)e-x
Ici on explore les intégrales de façon bien plus importantes avec également des notions de fonction de répartition. Un exercice complexe, surtout à partir de la question 6 où l’on rentre clairement dans le dur avec les fonctions de répartitions et d’une intégration par parties.
Conclusion générale :
Le sujet de Maths ECT BSB 2025 proposait un ensemble d’exercices équilibré, couvrant l’ensemble du programme, avec une difficulté progressive. L’exercice 1 (matrices) était classique mais nécessitait de la rigueur sur la fin ; l’exercice 2 (étude de fonction et intégrales) était accessible malgré quelques pièges subtils ; l’exercice 3 (probabilités) restait technique mais abordable avec une bonne maîtrise des méthodes de base ; enfin, l’exercice 4, plus court, était clairement le plus délicat avec un travail exigeant sur les intégrales et les fonctions de répartition.
Globalement, un sujet faisable pour des candidats solides, mais sélectif sur la précision des calculs, la connaissance du cours et la gestion du temps.
Bon courage pour la suite des épreuves et surtout ne lâche rien.
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