Cette première épreuve de maths Ecricome 2018 ECT, dans sa forme, n’a réservé aucune surprise, mais est peut-être un peu plus longue que d’habitude. Un premier exercice sur les matrices dans son ensemble très accessibles, un deuxième exercice d’analyse découpé en deux parties, l’une consacrée à l’étude d’une fonction, l’autre à une densité de probabilité qui utilise cette fonction, et enfin, comme souvent à ECRICOME, un dernier exercice de probabilité assez long et difficile avec un peu (très peu) de Scilab.
L’exercice 1 : Algèbre
Le début de l’exercice 1 très facile et aborde des notions maîtrisées par la plupart des candidats (ou au moins ceux qui auront travaillé un minimum les maths pendant l’année) : vecteur propres et valeurs propres, polynôme annulateur, et déterminer l’inverse d’une matrice à partir de ce polynôme. [sociallocker id=13076]
Il fallait bien faire attention à la rédaction et ne pas tomber dans les pièges que, chaque année, les jurys déplorent, c’est-à-dire écrire « le » polynôme annulateur au lieu de « un polynôme annulateur », et oublier de préciser que V1, V2 et V3 ne sont pas nuls. Pour l’inverse de P, ceux qui auront utilisé la méthode du pivot de Gauss au lieu d’utiliser la relation P^3 + P² +I = 0 auront perdu énormément de temps et pour un résultat sûrement faux. On trouvait facilement que l’inverse de P était –(P²+P) grâce à cette relation.
La fin de l’exercice était cependant un peu plus originale que d’habitude et les deux équations ont peut-être perturbé certains candidats. Il fallait être capable de déterminer certaines relations tout seul à partir d’éléments de l’énoncé ou de résultats déjà établis. Ainsi, remarquer que X = PYP-1 et que M = PDP-1 était indispensable pour comprendre la question 4.b). Enfin, de simples opérations sur les équations permettaient d’obtenir les matrices Y et X, le sujet étant assez clément en vous indiquant que Y est diagonale et que les coefficients sont inférieurs à deux pour vérifier vos résultats.
En fin de compte, c’est un exercice plutôt original, qui a le mérite de changer des millions d’exercices de matrice(s) où l’on retrouve toujours les mêmes questions et qui ont pour simple but de diagonaliser une matrice et de trouver le terme général d’une suite. C’est aussi un parfait entraînement pour ceux qui espèrent avoir une bonne note à l’épreuve ESCP qui a plus tendance à proposer des exercices originaux.
L’exercice 2 : Analyse
Le deuxième exercice était beaucoup plus long, mais également beaucoup plus classique.
L’étude de la première fonction g n’est là que pour parvenir à étudier le sens de variation de la fonction principale plus tard dans l’exercice. Ceux qui n’ont pas utilisé le fait que g était strictement positive pour montrer que f était strictement croissante ont dû avoir des tableaux de variations qui vont faire grincer des dents le correcteur.
De manière générale, on retrouve toutes les questions classiques d’un exercice d’analyse : sens de variations, convexité, calcul des limites (attention à bien avoir précisé les théorèmes de croissance comparées lorsque c’était nécessaire), asymptotes, représentation graphique. Pour un élève qui maîtrise assez bien les études de fonctions, la partie 1 était largement abordable.
La partie 2 était également assez simple car elle se contentait de survoler le chapitre sur les densités (pas de fonction de répartition, pas de calcul de variance, pas de minimum ou maximum, pas de questions sur les estimateurs…). Il fallait alors bien faire attention à la rédaction pour justifier que h était une densité de probabilité et utiliser non seulement le résultat de la question 2 pour trouver 1, mais également les propriétés de f dans la partie 1 pour la continuité et le signe de h.
Enfin, pour le calcul d’espérance, les concepteurs ont été gentils en rappelant que l’on peut trouver la primitive de ln(x) en faisant une intégration par partie (les meilleurs connaissent déjà la primitive). Il fallait alors remarquer que ln(x) = 1*ln(x), ce qui vous permet de primitiver 1 dans l’intégration par parties. Bien que long, cet exercice aura permis de récompenser ceux qui ont travaillé un minimum la matière avec des questions travaillées encore et encore durant l’année.
L’exercice 3 : Probabilités
Vient maintenant l’exercice 3 sur les probabilités. C’est généralement l’exercice le plus dur à Ecricome, et son placement en dernière position n’est pas anodin.
A titre de comparaison avec les sujets tombés depuis le nouveau programme, il est beaucoup plus dur (à mon avis) que celui de l’année dernière qui était très simple et où un élève connaissant les lois usuelles pouvait parfaitement s’en sortir, mais moins difficile que celui de 2016, dont les deux dernières questions (hors informatique) n’avaient été réussies dans leur intégralité par aucun candidat selon le rapport des jurys.
L’expérience effectuée était assez claire et facile à comprendre (contrairement à certaines années où rien que comprendre l’énoncé est déjà un défi). La clé du succès de cet exercice était de bien prendre en compte l’alternance entre les deux urnes en fonction de la boule piochée.
Le théorème des probabilités totales était également un élément clé pour venir à bout de certaines questions, notamment lorsqu’il fallait trouver la formule pour P(un+1) et P(Xn+1=1). Il ne fallait alors pas oublier de préciser le système complet d’évènement en question à chaque fois.
La difficulté majeure de la partie 1 réside dans le fait qu’il fallait remarquer que P(Un) peut être considéré comme une suite arithmético-géométrique. La question 3.c) était un indice laissé par les concepteurs pour aiguiller les candidats vers cette piste car cette équation n’est rien d’autres que le calcul du point fixe de la suite.
Pour la partie 2, les premières questions ne sont pas difficiles et permettent de remettre en confiance ceux qui ont séché sur la fin de la partie 1. Le pic de difficulté commence cependant après la question Scilab. Il était essentiel de comprendre que c’était parce que l’on commence l’expérience dans l’urne U que le n+1-ième tirage se fait dans U lorsqu’on a pioché n boules blanches avec n un chiffre pair. Cela permet de retrouver la formule donnée en 6.), car il faut prendre en compte que l’on pioche dans U lorsque X = 0 et dans V lorsque X = 1 puisque 0 est pair et 1 impair.
Enfin, seuls les meilleurs candidats seront sûrement parvenus à réussir la récurrence et les questions qui suivent. On remarquera que cette année, Scilab était très peu présent dans le sujet, avec une seule question et ce sûrement au grand bonheur de tous. Cependant, cette question, bien plus difficile que les questions informatiques des sujets précédents, sera bien plus rémunératrice en point.
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