Découvre l’analyse de l’épreuve de maths ECT ECRICOME 2025 ! Première épreuve du calendrier, l’épreuve de maths d’ECRICOME ouvre la série des épreuves écrites. Son coefficient, soit de 5, soit de 7, pour les cinq écoles de la banque d’épreuves ECRICOME, lui donne une place incontournable.
Tu peux retrouver le sujet de maths ECT ECRICOME 2025.
Analyse du sujet de maths ECT ECRICOME 2025
À l’instar de l’année précédente ce sujet de MATHS ECT Ecricome 2025 est stupéfiant par… sa longueur ! Nous avons cette année un sujet qui couvre l’ensemble du programme avec une exercice 1 particulièrement long en 4 parties, tandis que les exercices 2 et 3 intègrent chacun une partie python, pouvant surprendre de nombreux candidats. La partie informatique prend une place encore plus importante que l’année précédente avec notamment une partie sur les bases de données (nouveauté depuis l’an dernier) encore plus importante. Pour t’aider à te positionner, à t’entraîner ou pour te rassurer, voici les principaux points que nous avons pu relever.
Exercice 1 :
Du classique, comme chaque année, pour commencer cette épreuve avec le traditionnel exercice sur les matrices. Celui-ci commence assez « tranquillement » avec 3 premières questions plutôt simples et abordables pour n’importe quel candidat avec des calculs de matrices classiques. Il se complexifie ensuite avec une question non habituelle : « Que dire du polynôme R pour la matrice M ? ». Ici ce qui est attendu, ce que tu vérifies si la matrice M annule le polynôme R et donc remplace les X par des M. Il faut donc rependre la question précédente où tu calcules matrices M au carré. Le reste de la Partie 1 reste du classique, la dernière question étant comme toujours la plus complexe avec une démonstration par récurrence qui n’est pas directement explicitée dans l’énoncé.
Comme dit en introduction, l’exercice 1 se différencie par sa longueur. La Partie 2 de l’exercice propose une étude classique de suites définies par récurrence linéaire couplée à une application matricielle. Elle n’en reste pas moins complexe. Il faut d’abord (question 6.a) trouver que Un = 5^n x Uo et donc que Un = 5^n x 1= 5^n ; et faire de même ensuite pour Vn à la question suivante. La question la plus complexe de cette courte partie 2 reste la 6.c) avec un système linéaire à deux inconnues, c’est néanmoins le genre de question classique, figurant dans les annales Ecricome chaque année. Enfin la récurrence trouve sa complexité dans l’hérédité donnée par : Mn+1=M⋅Mn=M(anM+bnI)=an M2+bnM
La partie 3 est sans aucun doute la plus complexe avec cette fois l’introduction des probabilités matricielles. La question 8.a) est assez simple, elle sert à tester la bonne compréhension de l’énoncé. Idem pour la question suivante. L’espérance se calcule sans difficulté si la loi est bien comprise. La question 8.c) vous permettant même de savoir, à travers le calcul de la variance avec un résultat déjà donnée, si votre espérance trouver et la bonne. La difficulté augmente à la question 9.a) et 9.b) avec l’introduction des probabilités conditionnelles. Pour les questions 10 et 11, il faut ici reprendre les matrices vu en partie 1 et 2 et les calculs sont soudainement plus complexes mais reste abordables si l’on comprend la relation entre la partie 1 et 2. La clarté dans la rédaction et la structuration logique des démonstrations seront particulièrement valorisées ici.
Enfin la partie 4, orientée donc sur l’informatique, propose du SQL Classique mais avec un énoncé verbal en langage formel, ce qui a pu perturbé certain.
En résumé, un exercice 1 riche en exercices et questions mais où l’on retrouve beaucoup de questions dites « classiques » des sujets Ecricome.
Exercice 2 :
Cet exercice mobilise une très large palette de compétences du programme de mathématiques, allant de l’analyse de fonctions classiques jusqu’à l’étude fine d’une suite définie implicitement. L’exercice est découpé en deux grandes parties : la première très analytique, la seconde plus originale, mêlant fonctions et suites.
La première question est très simple, il suffit de dériver. Cela met en confiance. La deuxième question porte sur les limites, qui sont classiques, mais attention : g→+∞ aux deux bornes. Tableau facile car g′=f>0
Les questions trois et quatre concernent la résolution de l’équation g de x égale à zéro, qui a une solution unique en zéro. Ensuite, il faut réaliser un tableau de signes, ce qui est simple si on a compris la croissance de la fonction.
Les questions cinq et six abordent la convexité par la dérivation seconde. Comme f′′=f>0, f est convexe, idem pour g. Technique mais classique.
La question sept porte sur la tangente en zéro, qui est facile à trouver. La comparaison des courbes demande d’être rigoureux avec le signe de g – f.
La question huit concerne des calculs d’aire classiques mais techniques. Il faut bien identifier quelle courbe est au-dessus de l’autre, et faire attention aux bornes.
La question neuf traite des dérivées de h et k, qui sont faciles à trouver. Le plus dur est l’inégalité g(x)≥2x+31 x3, à justifier via développement limité ou graphique.
Pour la deuxième partie,
Q10 : Unicité par croissance de g, simple.
Q11 : Encadrement dans ]0,1[ à l’aide d’approximation de e, un peu de calcul mental.
Q12 : Simple rappel que Un >0.
Q13 : Montre que Un est décroissante car g(Un )=n1 décroît et g est croissante. D’où convergence.
Enfin, cette exercice se termine par du langage Python plus classique que celui de l’exercice 1. Aucune difficulté particulière pour ceux étant à l’aise avec le langage python et ce genre de classique que l’on retrouve dans presque tous les annales Ecricome.
Exercice 3 :
L’exercice 3, sûrement le plus complexe. En effet, la première partie de l’exercice aborde une variable aléatoire T suivant une loi exponentielle de paramètre λ, représentant la durée de vie d’un papillon. Les premières questions (1a et 1b) sont assez classiques et accessibles : il s’agit simplement de rappeler des éléments fondamentaux des lois exponentielles, tels que la densité, l’espérance, la variance, ainsi que l’expression de la fonction de répartition. Ce sont des résultats standards que l’on doit connaître par cœur, et qui ne présentent pas de difficulté particulière.
Cependant la difficulté augmente dès la question suivante, la question 1c demande une probabilité simple à partir de la fonction de répartition ; le calcul est direct si l’on maîtrise bien la loi exponentielle. En revanche, la question 1d introduit une notion importante et légèrement plus subtile : la mémoire sans effet. Elle fait appel à une propriété spécifique à la loi exponentielle, qui peut piéger si l’on n’en connaît pas l’existence. Ici, le raisonnement est probabiliste conditionnel, mais se simplifie fortement grâce à cette propriété particulière. La suite de la partie 1 se concentre sur la loi uniforme U(0,1).
Les questions 2a, 2b et 2c sont très simples si l’on est à l’aise avec la définition d’une variable à densité et la construction de la fonction de répartition d’une loi uniforme. Les justifications sont essentiellement issues de la lecture directe de la densité.
Enfin, la question 2d demande de simuler la variable T en langage Python. Cette question, bien que classique en probabilité appliquée, introduit un niveau technique un peu plus élevé. Elle nécessite de connaître une méthode de génération de lois exponentielles à partir d’une variable uniforme, généralement via l’inversion de la fonction de répartition. Il faut donc mobiliser à la fois des connaissances théoriques en probabilités et une capacité à les traduire en code, ce qui constitue un aspect plus technique de l’exercice
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