Maths I appliquées HEC/ESSEC 2023 – Analyse du sujet

Comme à son habitude, le sujet de maths 1 a été difficile pour les élèves qui ont planché sur l’option maths appliquées. Bien plus technique que les autres épreuves, la maths I appliquées HEC/ESSEC demande une maîtrise absolue de l’ensemble du programme des deux ans de prépa et il est extrêmement difficile d’en venir à bout. Epreuve reine au sens où elle représente le summum de la difficulté parmi les sujets sur lesquels les candidats de l’année auront eu à plancher. Retrouve dans cet article l’analyse des maths I appliquées HEC/ESSEC 2023.

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Notre analyse du sujet de Maths 1 appliquées HEC-ESSEC 2023

Commentaires généraux

Les trois premières parties se concentrent sur l’étude de la méthode de Stein tandis que la quatrième analyse une application de celle-ci avec la convergence “uniforme” en loi vers la loi normale. Notez dores et déjà que ce sujet est clairement conforme à sa réputation. Il s’agit d’une épreuve de maths I typique, dans laquelle on introduit énormément de notations, où l’on présente des résultats hors programme à réutiliser au cours du sujet… les candidats n’ayant fait quasiment aucune épreuve de ce type auront très probablement du mal à le traiter. En bref, il s’agit d’un sujet (d’analyse et de probabilité principalement) extrêmement discriminant qui va favoriser les candidats qui auront fait le plus d’annales de se type et donc seront habitués à réfléchir dans ces conditions. A noter que pour se démarquer dans une telle épreuve, en plus de savoir faire des questions, la rédaction minutieuse pouvait également être un autre atout.

Partie 1

Quelques questions faisables pour cette première partie, à condition de ne pas s’être perdu dès le départ dans les notations. En fait ce sont des questions que l’on peut retrouver en maths EDHEC emlyon, mais qui sont formulées de façon plus compliquée avec beaucoup plus de notations, ce qui perd souvent beaucoup de candidats. On retrouve notamment :

• la 1)a) (une simple majoration d’intégrande sur le segment de l’intégrale, en ayant bien justifié rigoureusement le passage à l’intégrale convergence
• Une question de la même forme que la 1)b) (raisonnement analogue)
• Une intégration par partie pour la 1)c) (pour le coup l’énoncé aide et guide le candidat !)
• La question 2)b) est une question de cours déguisée qui demande d’appliquer l’inégalité des accroissements finis à \(h\) entre \(x\) et \(y\)
• La 2)b) se fait grace au fait que \(h\) est une fonction de \(W\), ce qui permet donc de majorer sa dérivée par 1 et in fine majorer l’intégrande en question par une intégrale convergence, puis conclure par les théorèmes de comparaison des intégrales de fonctions positives.
• La question 2)c) est une synthèse de la question 2) et demande une très bonne maîtrise technique des intégrales pour s’en sortir.
• La question 3)a) est faisable : c’est que du calcul de dérivée ! les candidats les plus assidus auront remarqué que l’on fait apparaitre des équations différentielles.
• Pour rappel, une \(f\) fonction de classe \(C^1\) sur \(\mathbb R\) est une fonction qui est continue sur \(\mathbb R\) et dont la dérivée \(f’\) est continue sur \(\mathbb R\). Ainsi, il suffit d’effectuer ce raisonnement pour \(f_h\), et se rappelant que pour montrer qu’une intégrale est de classe \(C^1\), il faut prouver que l’intégrale est continue (tout simplement : c’est du cours). Les questions suivantes sont des techniques d’analyses mêlant majoration, intégrales… typique d’une épreuve de maths I d’analyse.

Partie 2

• On commence par une question de cours cachée à la 6). C’est la loi de Bernoulli de paramètre \(F(x)\)
• La question 8)a) utilise une méthodologie assez classique pour montrer qu’une fonction est de classe \(C^1\) sur \(\mathbb R\). Elle est calculatoire et demande une rédaction extrêmement rigoureuse.
• Ensuite, on se concentre sur l’étude de cette fonction, donc rien d’étonnant si ce n’est de ne pas se perdre dans les notations…
• Les questions 9) et 10) deviennent très dense au niveau des notations…

Partie 3

• On reprend avec des probabilités et on débute cette partie avec une question 11) de Python, qui simule un échantillon aléatoire de la variable \(X\), de taille 10000.
• Ensuite, on peut commencer à gratter des points… Tout se complique. La difficulté monte d’un cran. On peut peut-être repérer un taux d’accroissement à la question 12)
• On pouvait prendre quelques points à la question 15) qui met en jeu l’étude d’un intervalle de confiance, avec les méthodes classiques vues en cours.

Partie 4

La partie 4 sera accessible aux candidats qui savent se retrouver dans les notations, il est toujours possible de gratter quelques points en faisant des questions calculatoires, mais il s’agira probablement de la partie la plus discriminante du sujet.

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