Comme à son habitude, le sujet de maths 1 a été difficile pour les élèves qui ont planché sur l’option maths approfondies. Bien plus technique que les autres épreuves, la maths 1 approfondies HEC/ESSEC demande une maîtrise absolue de l’ensemble du programme des deux années de prépa et il est parfois difficile d’en venir à bout. Retrouve dans cet article l’analyse des maths I approfondies HEC/ESSEC 2024.
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L’analyse du sujet maths I approfondies HEC/ESSEC 2024
Le sujet HEC Maths I 2024 comporte trois parties qui nous font traiter des questions d’algèbre, de probabilités et d’analyse. Ce sujet porte principalement sur les matrices de Hadamard.
Partie I : Existence des matrices de Hadamard
La première question de ce sujet nécessite de travailler sur les coefficients d’une matrices de Hadamard. Il fallait bien comprendre les définitions introduites sur les matrices de permutation et sur les matrices de Hadamard. En effet, la transposée d’une matrice de permutation reste une matrice de permutation car il y a toujours un seul 1 par colonne et par ligne et le reste des coefficients sont bien toujours nuls.
La question 2) peut se faire en deux temps : le sens direct se fait en appliquant la définition d’une matrice de Hadamard puis le sens indirect avec l’orthogonalité des colonnes qui découle du produit de matrices. La troisième question se fait aussi avec l’orthogonalité des colonnes et à l’aide des coefficients d’une telle matrice.
La question 4) se fait en effectuant des produits de matrices en s’appuyant sur la définition d’une matrice de permutation et notamment sur ses coefficients. Il fallait conclure en vérifiant que les nouvelles matrices vérifient bien les propriétés qui définissent les matrices de Hadamard. Ensuite la question 5) se fait en considérant une bonne permutation pour avoir uniquement des 1 sur la première ligne.
La 7) doit se faire en utilisant le fait qu’une matrice de Hadamard a des coefficients qui valent 1 ou -1, cela nous permet de montrer l’égalité. Quant à la question 9) il faut utiliser un raisonnement analogue à la question 5) en utilisant les bonnes permutations qui permettent d’avoir les trois premières lignes demandées. Pour la question 10), cela est une conséquence directe que si le nombre de colonnes est identique pour chaque bloc alors \(n\) vaut 4 fois le nombre de colonnes par bloc donc est divisible par 4.
La 11) nous fait utiliser le produit de matrices par bloc, pour vérifier que la matrice donnée est toujours de Hadamard il faut calculer ses coefficients et montrer que les colonnes sont orthogonales entre elles. La 12) peut se faire par récurrence en s’appuyant sur la 11) dans l’hérédité.
Les questions 12), 13) et 14) sont les premières de ce sujet, il fallait utiliser la bibliothèque numpy et random notamment avec rd.random qui permettait de faire une disjonction de cas par rapport à \( \diplaystyle \frac{1}{2} \) pour attribuer des 1 et des -1 dans la matrice.
Partie II : variables aléatoires
La première question de cette partie II était accessible car il fallait montrer qu’une application bilinéaire est bien un produit scalaire. Quant à la question 16) il fallait utiliser la linéarité de l’espérance pour aboutir à un système qui possédait bien un unique couple en solution comme cela était demandé.
Dans les questions 17) et 18) il fallait montrer des égalités à l’aide du produit scalaire, il fallait partir du membre de droite, appliquer la définition du produit scalaire puis conclure. La question 19) nécessite une réflexion sur le nombre d’événements associés à la variable aléatoire \(X.\)
La question 20) se fait en plusieurs étapes, il était possible de construire les \(\alpha \; \text{et} \; \beta\) à l’aide de la question 16). Puis il fallait montrer qu’une application est bien une application linéaire bijective ce qui est bien le cas en raisonnant sur le nombre de racines distinctes d’un tel polynôme. Finalement, il fallait utiliser le caractère bijectif de l’application pour tomber sur les bons scalaires qui nous permettent d’avoir l’égalité. Les inégalités de la question 21) se démontrent quant à elles avec le nombre d’événements des variables aléatoires étudiées.
La question 22) introduit un nouvel objet : une matrice \(M\) dont les coefficients sont définis par une variable aléatoire. Il fallait montrer dans un premier temps qu’il n’y a que deux coefficients possibles pour cette matrice puis montrer que ces coefficients sont liés à la probabilité qu’ils soient présents dans la matrice. Ensuite nous pouvions nous appuyer sur la définition d’une matrice orthogonale \({}^TPP=I_n\) pour montrer la 22) c) i.e. \(MD\) est orthogonale. Pour la 22) d) il fallait montrer une égalité de variable aléatoire, cela peut se faire en évaluant chaque membre de l’égalité avec tous les événements de l’univers. La fin de la question 22) nous fait utiliser le résultat de la 22) b) pour aboutir au fait que \(M\) est bien une matrice de Hadamard.
Partie III : deux propriétés des matrices de Hadamard
Cette dernière partie se concentre davantage sur l’algèbre linéaire ainsi que sur les fonctions à plusieurs variables.
Les trois premières questions de cette partie étaient particulièrement accessibles. Il fallait montrer qu’une application est linéaire puis montrer des égalités faisant intervenir des normes et des produits scalaires. Pour les montrer, il faut repartir de la définition du produit scalaire indiquée dans le sujet. L’inégalité de la question 25) peut se faire à l’aide de Cauchy Schwarz ainsi qu’avec l’inégalité triangulaire généralisée.
Dans la question 26), il fallait montrer qu’un ensemble est un fermé borné, il faut don majorer la norme de chacun de ses éléments, nous pouvons noter que cette question nécessite une application d’une définition vue en fin de deuxième année. Nous pouvons aboutir à l’inégalité de la 27) grâce à la propriété que nous venons de montrer.
La question 27) nous permet d’affirmer deux choses l’existence d’un minimum global et d’un maximum global. Il fallait ensuite trouver que le minimum valait \(n\) ainsi que toutes les matrices qui une fois appliquées en \(F\) valait bien \(n\) i.e. le minimum globale de la fonction.
L’égalité de la question 31) qui peut se montrer par calcul avec la définition de la norme et la définition du produit scalaire nous permettent d’aboutir au résultat de la question 32) qui est facilement démontrable. En effet, il fallait simplement constater que \(F(Q)\) valait \( \displaystyle n^{\frac32} \) moins un terme strictement positif. Finalement la question 33) demande de montrer que le cas d’égalité de la question 32) n’est possible que si \(n\) est un multiple de 4.
La question 35) était accessible bien qu’elle soit en fin de sujet, c’est une application de ce que nous venons de faire dans le cas où \(n=3.\)
Finalement, en raisonnant sur la définition du produit scalaire introduit ainsi que sur l’expression de sa norme il était possible de montrer un meilleur encadrement du maximum de \(F\) que celui que nous avons montré dans la question 32). Ce nouveau majorant vaut \( \displaystyle n^{\frac32} -\frac{1}{n^{\frac32}}.\)
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