Tu veux enfin savoir comment étudier proprement et efficacement la convergence d’une intégrale généralisée ? Plus de doutes, cet article est fait pour toi ! Dedans, tu y découvriras l’intérêt d’une rédaction soignée pour l’étude de la convergence d’intégrales ainsi que les astuces pour écrire seulement l’essentiel sur ta copie.
L’utilité d’une rédaction soignée
Comme tu l’as sans doute remarqué, l’étude d’intégrales généralisées est très fréquente dans les sujets de concours (et donc, dans les sujets de DS). Si l’étude d’intégrales est souvent bien connue des préparationnaires, la rédaction est très discriminante. En effet, les fautes ou imprécisions peuvent coûtent cher le jour du concours.
Dans cet article, je te détaille donc les étapes clés pour bien rédiger.
Étape 1 : repérer les impropretés de l’intégrale
Exemple
Étudier la convergence de l’intégrale \( \displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac {1}{t} \, \mathrm{d}t \ \).
Ici, la fonction intégrée n’est définie ni en \(0\) ni en \(+\infty\) : l’intégrale étudiée possède donc deux impropretés, en \(0\) et en \(+\infty\).
Voilà maintenant ce que tu dois rédiger !
À écrire sur la copie
La fonction intégrée \( t \mapsto \frac {1}{t} \) est définie et continue sur \( ]0,+\infty[ \). L’intégrale possède donc deux impropretés, en \(0\) et en \(+\infty\).
Remarques
- Il est fondamental de préciser le domaine de continuité de la fonction intégrée.
- N’oublie pas non plus d’écrire où sont les impropretés.
Ici, l’intégrale diverge, par les critères de Riemann, donc une étude approfondie n’est pas nécessaire. Voyons ce qu’il faut faire dans le cas d’intégrales non déjà connues.
Étape 2 : étudier les impropretés de l’intégrale
Pour cela, il y a plusieurs méthodes. La plus utilisée est la comparaison d’intégrales de fonctions positives (resp. négatives), quand l’intégrale n’est pas déjà connue. Mais on peut aussi effectuer un changement de variables ou une intégration par parties, en précisant qu’on l’effectue sous réserve de convergence.
2.1. Comparaison d’intégrales de fonctions de signe constant
Ici, on compare l’intégrale à étudier avec l’intégrale d’une fonction dont le critère de convergence est connu (ex. : critère de Riemann). Pour comparer deux intégrales entre elles, on compare l’intégrande (c’est-à-dire la fonction intégrée) aux points d’impropreté.
Voici les principaux outils pour utiliser la comparaison d’intégrales (de fonctions intégrées en fait) :
- les équivalents ;
- le critère de négligeabilité (autrement dit, par la méthode des petits « o ») ;
- la domination (quand on peut majorer ou minorer une fonction par une autre sur un certain intervalle).
Exemple avec un équivalent
Étudier la convergence de l’intégrale \( \displaystyle \int_{0}^{1} \frac {\sin t}{t} \, \mathrm{d}t \).
À écrire sur la copie
La fonction intégrée \( t \mapsto \frac {\sin t}{t} \) est définie et continue sur \( ]0,1] \). L’intégrale possède donc une impropreté, en \(0\).
En \(0\), on a :
\[ \frac {\sin t}{t} \underset{0}{\sim} 1\]
(En effet : \( \sin t \underset{0}{\sim} t\) )
Ici, la fonction intégrée est prolongeable par continuité en \(0\), donc l’intégrale est faussement impropre en \(0\) et donc, converge.
À noter : l’équivalent de la fonction intégrée en \(0\) est une fonction constante, donc le critère de comparaison s’applique de manière spécifique. Mais la rédaction reste la même dans les autres cas, il faut seulement changer la dernière phrase en écrivant : « Par comparaison d’intégrales de fonctions positives (ou négatives), l’intégrale (…) converge. »
2.2. Changement de variables ou intégration par parties
Ces raisonnements sont moins fréquents pour étudier la convergence d’une intégrale, mais ils peuvent être bien utiles dans les questions formulées de cette façon : « Étudier la convergence de l’intégrale (…) et la calculer. »
En effet, le changement de variables et l’intégration par parties permettent de prouver la (non-) convergence d’une intégrale et de la calculer.
Remarques
- Si l’impropreté est sur une borne infinie, il faut alors poser un réel, par exemple \(A\), pour que ces deux raisonnements soient valides.
- Si l’impropreté est sur une borne finie, il faut alors absolument préciser sur ta copie : « on effectue le changement de variables (…) sous réserve de convergence. »
Les erreurs à éviter
Comme tu l’as sans doute compris, il faut faire attention lors de l’étude d’intégrales généralisées et ne pas oublier que l’on compare des fonctions intégrées et non des intégrales. À l’oral comme à l’écrit, la rigueur est donc essentielle pour éviter de mettre le jury dans de mauvaises dispositions.
En conclusion, j’espère que cet article, bien sûr non exhaustif, t’a permis d’être plus au clair sur les attentes en termes de rédaction pour l’étude d’intégrales généralisées. Rappelle-toi que la clarté et la rigueur sont le nerf de la guerre et donc que c’est cela qui fera la différence entre des copies.
Si tu veux en découvrir davantage sur les intégrales impropres, regarde cet article !
