Outil classique dans les exercices traitant des probabilités discrètes ou à densité, le produit de convolution est un indispensable du programme de maths approfondies. Il faut l’avouer, il est crucial, mais difficile à prendre en main lorsque l’on n’a pas la bonne méthode. Tu découvres cette notion ou tu as encore du mal à l’appliquer ? Cet article est fait pour toi ! Découvre la méthode à appliquer et les astuces pour t’en sortir à tous les coups.
Qu’est-ce que le produit de convolution ?
Définition
En théorie, le produit de convolution est un opérateur bilinéaire et un produit commutatif, qui a deux fonctions \( f \) et \(g\) et associe une fonction \( f*g \). Plus concrètement, le produit de convolution permet d’obtenir une densité de somme de variables aléatoires.
Exemple : Pour des variables \( X \) de densité \( f \) et \( Y \) de densité \( g \), notons \( h \) la densité de \( X + Y \), on obtient alors la formule suivante :
\[ h(x) = \displaystyle \int_{-\infty}^{+ \infty} f(t)g(x-t) \, \mathrm{d}t \]
Propriétés
Le produit de convolution est :
- bilinéaire :
\( \forall \lambda \in \mathbb{R}, f*(g + \lambda h) = (f*g) + \lambda (f*h) \)
(Cela se démontre facilement par linéarité des intégrales)
- associatif :
\( (f*g)*h = f*(g*h) \)
(Cela se démontre également par linéarité des intégrales)
- commutatif :
\( f*g = g*f \)
(Cela se démontre par un simple changement de variable)
Utilisation du produit de convolution
Dans sa définition, l’intégrale du produit de convolution est définie sur des bornes allant de \( -\infty \) à \( +\infty \). Toutefois, les densités des variables \( X \) et \( Y \) s’annulent parfois, ou changent d’expression. Étant donné que l’on travaille sur un produit de fonctions, il faut alors trouver les intervalles sur lesquels les fonctions \( f \) et \( g \) sont toutes les deux non nulles, avant de les remplacer par leurs expressions respectives.
Astuce
Il n’est parfois (et même souvent) pas simple de déterminer les intervalles qui constitueront la disjonction de cas de l’expression de la fonction \( h \). Si tu fais face à cette difficulté, voici une petite astuce à appliquer qui t’aidera à y voir plus clair ou à gagner du temps sur cette étape.
La méthode est toute simple, il suffit de réaliser un schéma afin d’avoir un visuel sur lequel s’appuyer pour représenter les valeurs pour lesquelles l’intégrande est non nulle. Et en l’appliquant, tu iras de plus en plus vite pour l’appliquer.
Concrètement, trace une droite sur ton brouillon et place des points stratégiques à partir desquels les fonctions \( f \) et \( g \) s’annulent. Tu n’as plus qu’à tracer avec deux couleurs différentes les segments sur lesquels chaque fonction est non nulle. Les différents intervalles à traiter apparaissent alors comme les segments sur lesquels les deux couleurs se superposent.
Application
Soient \( X \) et \( Y \) deux variables aléatoires indépendantes suivant la loi uniforme sur \( [0,1] \). Soit \( Z = X + Y \). En notant \( f \) la densité commune de \( X \) et \( Y \). On a alors :
\[ h(x) = \displaystyle \int_{-\infty}^{+ \infty} f(t)f(x-t) \, \mathrm{d}t \]
\( f(t)f(x-t) ≠ 0 \) si et seulement si :
\( \begin{cases} 0 \le t \le 1 \\ 0 \le x-t \le 1 \end{cases} \leftrightarrow \begin{cases} 0 \le t \le 1 \\ x-1 \le t \le x \end{cases} \leftrightarrow \max(0,x-1) \le t \le \min(1,x) \)
Il faut alors distinguer quatre cas selon les valeurs de \(x\) : \( x<0 \), \( x \in [0,1] \), \( x \in ]1,2] \) et \( x>2 \). Dans le premier cas, \( f(t) \) est nulle, dans le dernier, c’est \( f(x-t) \) qui est nulle, il n’y a plus qu’à calculer \(h(x)\) dans les deux cas restants.
Pour \( x \in [0,1] \), \( h(x) = \displaystyle \int_{0}^{x} 1 \times 1 \, \mathrm{d}t = x \).
Pour \( x \in ]1,2] \), \( h(x) = \displaystyle \int_{x-1}^{1} 1 \times 1 \, \mathrm{d}t = 2-x \).
On obtient ainsi la formule globale de la fonction \(h\) (n’hésite pas à reprendre cet exemple en traçant un schéma et en détaillant chaque étape de calcul, passe ensuite à des variables plus complexes).
Cas particuliers : lois de stabilité
Dans certains cas, il y a plus rapide que le produit de convolution, certaines lois usuelles sont stables par somme et permettent d’arriver directement à un résultat sans perdre de temps sur des calculs. Pense à les utiliser pour être plus efficace dans tes devoirs.
Lois gamma indépendantes
Soient \( X_{1} \) et \( X_{2} \) deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois gamma de paramètres respectifs \(\nu_{1}\) et \(\nu_{2}\).
Par stabilité de la loi gamma par somme, on obtient immédiatement que \( X_{1} + X_{2} \) suit une loi gamma de paramètre \( \nu_{1} + \nu_{2} \).
Lois normales indépendantes
Soient \( X_{1} \) et \( X_{2} \) deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois normales de paramètres respectifs \((m_{1},\sigma_{1}^{2})\) et \((m_{2},\sigma_{2}^{2})\).
Par stabilité de la loi normale par somme, on obtient immédiatement que \( X_{1} + X_{2} \) suit une loi gamma de paramètre \( (m_{1}+m_{2}, \sigma_{1}^{2} + \sigma_{2}^{2}) \).
Généralisation
Ces cas particuliers s’appliquent également pour une somme de \( n \) variables aléatoires (ce qui correspondrait à autant de produits de convolution à calculer).
Pour des variables aléatoires \( X_{1} \), \( X_{2} \), …, \( X_{n} \) suivant des lois gamma de paramètres respectifs \(\nu_{1}\), \(\nu_{2}\), …, \(\nu_{n}\), \( Z = \displaystyle \sum_{k=1}^{n}X_k \) suit une loi gamma de paramètre \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\nu_k \).
De même, pour des variables aléatoires \( X_{1} \), \( X_{2} \), …, \( X_{n} \) suivant des lois normales de paramètres respectifs\((m_{1},\sigma_{1}^{2})\), \((m_{2},\sigma_{2}^{2})\), …, \((m_{n},\sigma_{n}^{2})\), \( Z = \displaystyle \sum_{k=1}^{n}X_k \) suit une loi normale de paramètre \( (\displaystyle \sum_{k=1}^{n}m_k , \displaystyle \sum_{k=1}^{n}\sigma_k^{2} \)).
Sujets pour s’entraîner
Dans le méga-répertoire des annales de Major-Prépa, nous t’invitons notamment à travailler sur les sujets EDHEC 2012 et EDHEC 2023 (exercice 2). Tu y trouveras également de nombreux autres exercices pour t’entraîner à l’application du produit de convolution ainsi qu’à bien d’autres thèmes !
