En khôlle ou en DS, tu as forcément déjà rencontré cette fameuse question : « Déterminez une base de l’espace vectoriel. » Dans cet article, tu trouveras un condensé de toutes les méthodes te permettant d’y arriver, avec des exemples pour mieux intégrer la méthode.
Qu’est-ce qu’une base ?
Reprenons déjà la définition d’une base algébrique.
Une base est une famille libre de vecteurs de \(V\) qui engendre \(V\). Tout vecteur de \(V\) peut ainsi s’écrire comme combinaison linéaire des vecteurs de la base.
Déterminer la base d’un espace vectoriel est nécessaire, car cela simplifie bien souvent ton raisonnement. Par exemple, tu peux vérifier une propriété en l’appliquant d’abord sur les vecteurs de la base afin de montrer qu’elle est vraie pour n’importe quel vecteur de l’espace vectoriel.
Voyons maintenant les différentes méthodes qui sont à ta disposition pour déterminer une base algébrique.
Note qu’à chaque fois, il est important de connaître la dimension de l’espace vectoriel afin de savoir le nombre de vecteurs que l’on cherche. Supposons que l’on travaille dans un espace vectoriel \(E\) de dimension \(n\).
Montrer qu’une famille est libre et de bonne dimension
C’est souvent la méthode la plus facile. Si l’on nous propose une famille de vecteurs dont le nombre correspond à la dimension de l’espace vectoriel, nous n’avons plus qu’à montrer que la famille est libre.
Par exemple :
Supposons que tu as l’ensemble de vecteurs suivant :
\(v = \{(1, 2, 3), (2, 4, 6), (0, 1, 2)\}\).
On pose \(a,b,c\) tels que \(a(1, 2, 3) + b(2, 4, 6) + c(0, 1, 2) = (0, 0, 0)\). On résout l’équation.
On a :
\((a, 2a, 0) + (2b, 4b, b) + (3c, 6c, 2c) = (0, 0, 0)\)
et \((a + 2b + 3c, 2a + 4b + 6c, b + 2c) = (0, 0, 0)\)
D’où le système
\(\begin{cases}
a + 2b + 3c = 0 \\
2a + 4b + 6c = 0 \\
b + 2c = 0
\end{cases}\)
Si la seule solution est que a = b = c = 0, alors les vecteurs de l’ensemble sont linéairement indépendants, et ils forment une base. Sinon, s’il existe une solution non triviale (a, b, c ≠ 0), alors les vecteurs ne sont pas linéairement indépendants, et ils ne forment pas une base.
Dans cet exemple, si tu résous le système d’équations, tu constateras que la seule solution est \(a = b = c = 0\). Cela signifie que les vecteurs (1, 2, 3), (2, 4, 6) et (0, 1, 2) sont linéairement indépendants et forment une base pour l’espace tridimensionnel \(\mathbb{R}^3\).
Dans le cas où l’un des vecteurs serait combinaison linéaire des autres, il faut le supprimer et compléter la famille ainsi réduite par des vecteurs simples (vecteurs de la base canonique) pouvant convenir en s’appuyant sur le théorème de la base incomplète. On refait à nouveau un test de liberté pour montrer que la famille pour laquelle on opte est bien une base.
Voir aussi : toutes les méthodes pour montrer qu’une famille est libre
Montrer qu’une famille est libre et génératrice
Dans certains cas, on ne peut pas échapper à cette méthode un peu plus fastidieuse. Avant ou après avoir fait le test de liberté, on doit montrer que la famille que l’on étudie est génératrice.
Voir aussi : Toutes les méthodes pour déterminer une famille génératrice
Supposons que nous voulons montrer que la famille de vecteurs suivante est génératrice pour l’espace vectoriel des polynômes \(\mathbb{P}_2\) : \(v = \{1, x, x^2\}\).
L’idée est de montrer que ces polynômes peuvent être utilisés pour générer n’importe quel polynôme de degré au plus 2.
Considérons un polynôme générique \(p(x)\) de degré au plus 2 :
\(p(x) = a + bx + cx^2\)
Nous devons montrer que nous pouvons exprimer \(p(x)\) comme une combinaison linéaire des polynômes de la famille v. Ainsi, nous devons trouver des scalaires \(a\), \(b\), et \(c\) tels que : \(a(1) + b(x) + c(x^2) = p(x)\).
En résolvant cette équation, nous obtenons : \(\displaystyle a = p(0), b = p'(0), c = \frac{p^{\prime \prime}(0)}{2}\).
Cela signifie que tout polynôme de degré au plus 2 peut être exprimé comme une combinaison linéaire des polynômes de la famille \(v\). Par conséquent, la famille de polynômes \(\{1, x, x^2\}\) est génératrice de l’espace vectoriel \(\mathbb{P}_2\).
P.S. : dans le cas des polynômes, une propriété te permet de dire qu’une famille de degré échelonné et de bonne dimension est une base, mais tu ne l’apprends souvent (et ne peux donc l’utiliser) qu’en deuxième année.
Algorithme de Gram-Schmidt
Cet algorithme est utilisé pour trouver une base orthogonale ou une base orthonormale à partir d’une base quelconque. Il consiste à orthogonaliser les vecteurs les uns par rapport aux autres en soustrayant les composantes parallèles et à normaliser les vecteurs pour obtenir une base orthonormale.
Un article entier y est dédié. Jettes-y un œil : Le procédé de Gram-Schmidt
Diagonaliser une matrice
Si tu as une matrice carrée, tu peux déterminer une base de vecteurs propres pour cette matrice en diagonalisant la matrice. Les vecteurs propres associés aux valeurs propres distinctes forment une base pour l’espace vectoriel.
Dans cet article, tu trouveras toutes les méthodes te permettant de diagonaliser une matrice.
Supposons que tu as la matrice suivante :
\(A = \begin{bmatrix}
3 & 1 \\
0 & 2 \\
\end{bmatrix}\)
On trouve d’abord, les valeurs propres de la matrice A en résolvant l’équation caractéristique : \(A – \lambda I = 0\) où \(\lambda\) est la valeur propre et \(I\) est la matrice identité.
Dans notre exemple, on a donc :
\(\begin{vmatrix}
3-\lambda & 1 \\
0 & 2-\lambda \\
\end{vmatrix}
= (3-\lambda)(2-\lambda) – 0 \cdot 1 = 0\)
Cela donne les valeurs propres \(\lambda_1 = 3\) et \(\lambda_2 = 2\).
On cherche ensuite pour chaque valeur de \(\lambda\) les vecteurs propres associés en résolvant le système d’équations correspondant.
Pour \(\lambda_1 = 3\), nous avons :
\((A – 3I)\mathbf{v}_1 = \mathbf{0}\) où \(\mathbf{v}_1\) est le vecteur propre associé à λ₁.
En résolvant ce système, nous obtenons :
\((A – 3I)\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix}
0 & 1 \\
0 & -1 \\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x \\
y \\
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
\end{bmatrix}\)
Cela donne l’équation \(0x + y = 0\), ce qui signifie que y = 0. Ainsi, le vecteur propre associé à \(\lambda_₁ = 3\) est \(\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix}\).
Pour \(\lambda_2\) = 2, nous avons :
\((A – 2I)\mathbf{v}_2 = \mathbf{0}\)
En résolvant ce système, nous obtenons :
\((A – 2I)\mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix}
1 & 1 \\
0 & 0 \\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x \\
y \\
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
\end{bmatrix}\)
Cela donne l’équation \(x + y = 0\), ce qui signifie que \(x = -y\). Ainsi, le vecteur propre associé à \(\lambda_2 = 2\) est \(\mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix}-1 \\ 1\end{bmatrix}\).
Les vecteurs propres \(\mathbf{v}_1\) et \(\mathbf{v}_2\) forment une base de R². En effet, tout vecteur dans R² peut être écrit comme une combinaison linéaire de ces vecteurs.
Voilà les différentes méthodes t’amenant à déterminer une base. J’espère que les exemples t’auront permis d’y voir plus clair. Tous les exercices te demanderont toujours d’employer l’une de ces méthodes.
Retrouve aussi toutes nos autres ressources de mathématiques en cliquant ici.
