Le dénombrement est une branche des mathématiques qui se concentre sur le comptage, la quantification et la résolution de problèmes impliquant des ensembles d’objets. Les méthodes de dénombrement sont essentielles dans de nombreux domaines, de la combinatoire à la probabilité en passant par l’algèbre, comme tu as déjà pu le constater par toi-même. Dans cet article, nous allons explorer les méthodes de dénombrement les plus couramment utilisées et voir quelques exemples d’application.
Multiplication
Le principe de multiplication est une méthode fondamentale de dénombrement. Il stipule que si tu as \(m\) façons de faire quelque chose et \(n\) façons de faire quelque chose d’autre, alors il y a \(m \times n\) façons de faire les deux à la suite.
Cela signifie que pour chaque choix de la première action, il existe n choix possibles pour la deuxième action.
Par exemple, si tu as trois chemises différentes et quatre pantalons différents, tu peux créer \(3 \times 4 = 12\) tenues différentes.
Permutation
Lorsque l’on a un certain nombre d’objets distincts que l’on veut ranger, on parle de permutation.
Par exemple, si tu as les lettres A, B et C, il existe six permutations différentes possibles : ABC, ACB, BAC, BCA, CAB et CBA.
En général, le nombre de permutations d’un ensemble de \(n\) objets est donné par la formule : \(P(n)=n!\).
Arrangement
Un arrangement est une manière de disposer des objets dans un ordre particulier. Explication : on considère un ensemble d’objets dont on ne veut « trier » qu’une partie. L’ordre dans lequel on les range change tout.
Par exemple, si tu as les lettres A, B et C, et que tu veux trouver le nombre d’arrangements de deux lettres prises parmi les trois, il y a six arrangements possibles : AB, AC, BA, BC, CA et CB.
De façon générale, le nombre d’arrangements de \(r\) objets pris parmi \(n\) objets est donné par la formule :
\(\displaystyle A(n, r) = \frac{n!}{(n – r)!}\)
Ici, « n » est le nombre total d’objets et « r » est le nombre d’objets que tu sélectionnes pour l’arrangement. Le \(n – r\) dans le dénominateur prend en compte les arrangements possibles des objets non sélectionnés.
Combinaison
Les combinaisons sont des façons de choisir un groupe d’objets sans tenir compte de l’ordre. Par exemple, si tu choisis deux joueurs parmi un groupe de huit pour former une équipe, tu fais une combinaison. Le nombre de combinaisons possibles dépend du nombre total d’objets et du nombre d’objets que tu choisis.
La formule pour calculer le nombre de combinaisons est donnée par le coefficient binomial, noté \(C(n, k)\) ou \(\displaystyle {{n}\choose{k}}\), où \(n\) est le nombre total d’objets et \(k\) est le nombre d’objets choisis.
On a par ailleurs, \(\displaystyle {{n}\choose{k}}=\frac{k!}{n!(n-k)!}\).
C’est bon pour toi ?
Exercices
On passe maintenant à une série d’exercices pour que tu comprennes mieux dans quelle situation utiliser chaque méthode. Je te donne d’abord les énoncés. Tu peux retrouver les solutions à la fin de l’article.
Exercice 1
Tu as les lettres A, B, C, D et E. Combien de permutations différentes peux-tu former avec ces lettres ?
Exercice 2
Un jeu de cartes standard contient 52 cartes. Tu joues à la pyramide. Combien de mains différentes peut avoir un joueur ? (Pour rappel, on lui distribue quatre cartes, l’ordre compte. Le joueur doit retenir ces cartes dans le bon ordre.)
Exercice 3
Un menu de restaurant propose cinq entrées, huit plats principaux et quatre desserts. Combien de fois un client peut-il revenir avant de manger deux fois le même repas (entrée, plat principal et dessert) ?
Exercice 4
Combien de mots de cinq lettres peuvent être formés en utilisant exactement deux voyelles et trois consonnes, sans répétition de lettres et en considérant toutes les lettres de l’alphabet ?
Exercice 5
Imaginons que dans ta prépa, il y a 12 étudiants intéressés pour faire partie du nouveau mandat du BDE. Le BDE doit être composé de cinq étudiants, et parmi ces 12 étudiants, cinq d’entre eux sont en HGG/maths appro et sept en éco/maths appli. Mais pour une meilleure représentation de toutes les classes, le BDE doit comporter au moins un étudiant de chaque discipline/filière. Combien d’équipes différentes peuvent être formées ?
Solutions
Exercice 1
La solution est 5! ou 120. C’est une permutation.
Exercice 2
Si l’on considère l’ordre des cartes, on est dans le cas d’un arrangement. La réponse est donc \(\displaystyle A(52,4)=\frac{52!}{(52 – 4)!}\) soit 6’497’400. Rien que ça !
Exercice 3
Un client peut choisir son repas complet de la manière suivante : il peut choisir l’une des cinq entrées, l’un des huit plats principaux et l’un des quatre desserts. Le nombre total de façons de choisir un repas complet est 5 × 8 × 4 = 160 façons. Il a donc 160 jours avant de remanger la même chose.
Exercice 4
Il y a cinq voyelles (AEIOU) et 21 consonnes dans l’alphabet. Pour former un mot de cinq lettres avec deux voyelles et trois consonnes, le nombre de façons est \(\displaystyle {{5}\choose{2}} \times {{21}\choose{3}} = 10 \times 1 330 = 13 300\) mots.
Exercice 5
Tout d’abord, calculons le nombre total d’équipes possibles sans tenir compte de la diversité des classes. Cela revient à choisir cinq étudiants parmi les 12 disponibles. C’est un problème de combinaison et nous utilisons le coefficient binomial \({{12}\choose{5}}\) pour le calcul.
\(\displaystyle {{5}\choose{12}}= \frac{5!}{12!(12-5)!}= 792\)
Nous allons maintenant procéder par élimination et enlever toutes les équipes qui ne répondent pas au critère de diversité. C’est-à-dire qui ne contient des étudiants que d’une classe.
– Nombre d’équipes composées uniquement d’étudiants en HGG/maths appro : \(\displaystyle {{5}\choose{5}} = 1\)
– Nombre d’équipes composées uniquement d’étudiants en éco/maths appli : \(\displaystyle {{7}\choose{5}} = 21\)
Finalement, on a :
Nombre d’équipes possibles = Nombre total d’équipes – (Équipes seulement HGG/Maths appro + Équipes seulement éco/maths appli)
Donc : Nombre d’équipes possibles = \(792 – (1 + 21) = 770\).
Et voilà ! J’espère que cet article t’a été utile. Consulte toutes nos autres ressources en mathématiques en cliquant ici.
