Dans les sujets d’annales ayant pour thème l’algèbre, il y a systématiquement une question qui demande de montrer que des sous-espaces vectoriels (qu’on notera \(E_1\), \(E_2\) et de façon plus générale \(E_k \ \forall k \in\mathbb{N}, k\ge2\)) sont supplémentaires dans \(E\).
En revanche, si le cas \(k=2\) est le plus fréquent, il n’est pas exclu qu’il soit demandé de montrer que \(n\) SEV sont supplémentaires dans un espace vectoriel donné !
Rappel de la définition de deux sous-espaces supplémentaires dans un espace vectoriel
On dit que des sous-espaces vectoriels d’un même espace vectoriel sont supplémentaires dans cet espace si tout vecteur de l’espace se décompose de façon unique en une somme de vecteurs de chacun des sous-espaces.
On a donc :
\[
\forall x \in E, \exists! (u_1,u_2,…,u_k) \in E_1 \times E_2 \times…\times E_k\ , x = \displaystyle \sum_{k=0}^{n}
u_k
\]
Pourquoi montrer que des sous-espaces vectoriels sont supplémentaires dans un autre espace ?
Prouver que des sous-espaces vectoriels sont supplémentaires nous ouvre les portes de nombreuses formules et propriétés.
- Dans le cas \(k=2\), nous pouvons utiliser la fameuse formule de Grassmann : \(dim(E) = dim(E_1) + dim (E_2)\)
- Si on nous demande de trouver une base de \(E\) et que l’on connaît déjà des bases de \(E_1, E_2,…,E_k\), alors nous pouvons en déduire qu’une base de \(E\) est la concaténation des bases de \(E_1, E_2,…,E_k\)
Les différentes méthodes pour montrer que des sous-espaces vectoriels sont supplémentaires
Cas n° 1 : \(k=2\)
Deux sous-cas se distinguent ici.
Si on connaît la dimension des sous-espaces vectoriels en jeu : on montre dans un premier temps que \( (F\cap G) = {O_E}\), puis que \( E=F+G\)
Si on ne connaît pas la dimension des sous-espaces vectoriels en jeu : on a deux méthodes à notre disposition ici. On peut montrer que \( (F\cap G) = {O_E}\), puis que \( dim \ E = dim\ F+ dim \ G\)
OU on montre que \( dim \ E = dim \ F+ dim \ G\) et que \( E=F+G\)
Cas n° 2 : \(k\ge3\)
On commence par montrer que les \(k\) SEV sont en somme directe. Les propositions suivantes sont équivalentes :
\(\sum_{i=1}^{k}F_i \ \text{directe}\)
\(
\begin{align}
\Leftrightarrow \forall (u_1,…,u_k) \in E_1 \times…\times E_k, \sum_{i=1}^{k}u_i =0_E \Rightarrow u_1= …=u_k = 0_E \\
\Leftrightarrow \text{Pour toutes bases} \ (B_1,…,B_k) \ \text{de}\ (F_1,…,F_k), \displaystyle
\bigcup_{i=1}^{k} B_{i} \ \text{est une base de }\sum_{i=1}^{k}F_i \\
\Leftrightarrow \text{Il existe des bases} \ (B_1,…,B_k) \ \text{telles que}\ (F_1,…,F_k), \displaystyle
\bigcup_{i=1}^{k} B_{i} \ \text{est une base de }\sum_{i=1}^{k}F_i \\
\Leftrightarrow dim \displaystyle (\sum_{i=1}^{k}F_i) = \sum_{i=1}^{k}dim(F_i)
\end{align}
\)
On montre ensuite que ces SEV sont supplémentaires dans \(E\). Pour cela, on peut raisonner avec les dimensions.
On peut également noter que si la concaténation des bases des \(k\) SEV forme une base de \(E\), alors les \(k\) SEV en question sont en somme directe.
Remarque : orthogonal et supplémentaire direct.
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie.
Pour tout sous-espace \(F\) de \(E\), on a \( E = F \oplus F^\perp \)
Ce théorème nous dispense de passer par les différentes méthodes expliquées précédemment pour montrer que \(F\) et \(F^\perp \) sont supplémentaires dans \(E\) !
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