Tu es en prépa ECG et tu as entendu tes profs se lamenter de la disparition des nombres complexes au programme ? Cette notion a en effet disparu du programme officiel, mais comme tu le sais peut-être, les Parisiennes ne se limitent pas au programme, aussi bien pour les épreuves écrites que les oraux de HEC !
Cet article va donc te permettre de rapidement découvrir les définitions et propriétés d’une notion incontournable dans le monde des mathématiques.
Définition des nombres complexes
Pour comprendre ce qu’est un nombre complexe, il s’agit tout d’abord d’introduire un nouveau nombre : \(i\). Il vérifie la propriété \(i^{2}=-1\). À partir de ce nombre, on peut construire les autres complexes.
En effet, tout complexe est de la forme \(z = a + ib\), où \((a,b)\in\mathbb{R}^{2}\).
On appelle \(a\) la « partie réelle de \(z\) ». On note \(a=Re(z)\) et \(b\) la « partie imaginaire de \(z\) ». De même, on note \(b=Im(z)\).
On note \(\mathbb{C}\) l’ensemble des complexes.
Voilà, maintenant tu sais ce qu’est un complexe ! Je te propose d’en découvrir quelques propriétés.
Opérations élémentaires (somme et produit de deux complexes)
Une des premières opérations que tu as apprises en primaire avec les réels, c’était la somme. Pour les complexes, c’est assez simple :
Soient deux complexes \(z = a+ib\) et \(z’=a’+ib’\).
Pour calculer \(z+z’\), il suffit de sommer les parties réelles entre elles (\(a+a’)\) et les parties imaginaires entre elles (\(b+b’)\).
On a : \(z+z’=(a+a’)+i(b+b’)\).
Le produit est un peu plus difficile : \(zz’=(a+ib)(a’+ib’) = (aa’-bb’)+i(ab’+a’b)\).
N.B. 1 : Je te conseille par ailleurs de ne pas apprendre par cœur la formule du produit, mais de la retrouver en développant la forme factorisée \((a+ib)(a’+ib’)\).
N.B. 2 : On fera rarement des multiplications de complexes écrits sous la forme \(z=a+ib\), on utilisera très majoritairement la forme exponentielle de z (que je t’explique dans cet article).
Le conjugué
Soit \(z = a + ib\) et \(z’ = a’ + ib’\), où \((a,b,a’,b’)\in\mathbb{R}^{4}\).
On appelle conjugué de \(z\) le complexe qui se définit par : \(\overline{z} = \overline{a+ib} = a-ib\).
On a les propriétés suivantes :
\(\overline{\overline{z}}=z\)
\(z+\overline{z} = 2Re(z)\)
\(z-\overline{z} = 2iIm(z)\)
\(\displaystyle \overline{z+z’} = \overline{z} + \overline{z’}\)
\(\overline{zz’} = \overline{z}\overline{z’}\)
\(\forall n \in \mathbb{N}, \overline{z^{n}}=(\overline{z})^{n}\)
Si \(z\ne 0 \), alors \(\overline{\left( \frac{z}{z’} \right)}\ = \frac{\overline{z}}{\overline{z’}}\)
Formule du binôme de Newton
Soit \((z\mathbf{}_{1},z\mathbf{}_{2}) \in \mathbb{C}^{2}\)
\((z\mathbf{}_{1}+z\mathbf{}_{2})^n=\displaystyle \sum_{k=0}^n {{n}\choose{k}} z\mathbf{}_{1}^{k} z\mathbf{}_{2}^{n-k}\)
Module d’un complexe
Le module du complexe \(z = a+ib\), où \((a,b) \in \mathbb{R}\), est le nombre réel positif noté \(|z|\), défini par \(|z| = \sqrt{a^{2}+b^{2}}\).
Soit \((z;z’)\in \mathbb{C}^{2}\)
\(|z|=0 \Leftrightarrow z= 0 \)
\(|z|^{2} = z\overline{z} \)
\(|z|=|-z|=|\overline{z}| \)
\(|zz’|=|z||z’| \)
\(\forall n \in \mathbb{N}, |z^{n}|=|z|^{n} \)
Si \(z\ne 0\), alors \(|\frac{z}{z’}|=\frac{|z|}{|z’|} \)
Inégalité triangulaire
\(\forall (z;z’)\in \mathbb{C}^{2}, |z+z’|\le|z|+|z’|\)
Argument d’un complexe
Soit \(z \in \mathbb{C\backslash{{0}}}\), \(z=a+ib\), où \((a;b) \in \mathbb{R^{2}}\).
On appelle argument de \(z\) (noté arg \(z\)), tout réel \(\theta\) tel que :
\(\cos\theta = \frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\) et \(\sin\theta = \frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)
Forme exponentielle
On note \(e^{i\theta}\) le complexe \(\cos\theta + i\sin\theta\).
Tout nombre complexe non nul s’écrit sous la forme \(z=re^{i\theta}\) avec \(r>0\) et \(\theta\) réel.
L’écriture \(z=re^{i\theta}\) avec \(r>0\) est la forme exponentielle de \(z\).
On a \(|z|=r\) et \(\theta\) est un argument de \(z\).
Pour tout couple de réels \((\theta;\theta’)\), on a :
\(\overline{e^{i\theta}} = e^{-i\theta}=\frac{1}{e^{i\theta}}\)
\(|e^{i\theta}|=1\)
N.B. : Il suffit de s’apercevoir que dans l’écriture \(e^{i\theta}\), on a \(r=1\)
\(e^{i\theta}e^{i\theta’} = e^{i\theta+\theta’}\)
Formule de Moivre (très utile)
\(\forall n \in \mathbb{N}, (\cos(\theta) + i\sin(\theta))^{n} = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)\)
Démo :
\(\forall n \in \mathbb{N}, (\underbrace{\cos(\theta) + i\sin(\theta)}_{e^{i\theta}})^{n} = \underbrace{(e^{i\theta})^{n} = e^{in\theta}}_{\text{propriété de l’exponentielle}} = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)\)
Formules d’Euler
\(\forall \theta \in \mathbb{R}, \cos(\theta) = \frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\) et \(\sin(\theta) = \frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}\)
N.B. : Tu peux t’amuser à le démontrer à l’aide de la définition de la formule d’Euler…
Racines n-ièmes de l’unité
Soit \(\omega = e^{i2\pi}\). Les racines \(n^{ièmes}\) de l’unité sont : 1, \(\omega, \omega^{2} ,…, \omega^{n-1}\)
Pour tout entier naturel \(n\), la somme des \(n^{ièmes}\) de l’unité est nulle.
C’est-à-dire : \(\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}\omega^{k} = 0\)
N.B. : Démontrer cette propriété était un exercice très classique en première année d’ECS (ex-filière maths approfondies). C’est le genre d’exo qu’on pourrait te demander si les concepteurs des épreuves de maths de la BCE introduisaient les complexes. La démonstration tient en quelques lignes (tu peux essayer de la refaire par toi-même).
S’entraîner sur les complexes !
Annales
HEC 2021 maths approfondies, dont tu peux retrouver la correction ici.
Exercice (niveau simple)
Donner la partie réelle, la partie imaginaire et le conjugué des nombres complexes suivants :
1. \(z= -2i + 18\)
2. \(z= 19\)
3. \(z= 14i\)
4. \(z= i(4-i)\)
Solution :
1. \(Re(z) = 18\) \(Im(z)=-2\) \(\overline{z} = 2i+18\)
2. \(Re(z) = 19\) \(Im(z)=0\) \(\overline{z} = 19\)
3. \(Re(z) = 0\) \(Im(z)=14\) \(\overline{z} = 19\)
4. \(Re(z) = 1\) \(Im(z)=4\) \(\overline{z} = 1-4i \)
N’hésite pas à consulter toutes nos ressources mathématiques !
