Salut à toi ! On se retrouve aujourd’hui pour parler des polynômes de Tchebychev que l’on retrouve dans bien des sujets d’écrits et d’oraux. C’est donc l’occasion pour toi d’avoir un coup d’avance lorsque tu tomberas sur ce sujet. C’est parti !
Définition des polynômes de Tchebychev
Les polynômes de Tchebychev de première espèce \( (T_n)_{n \in \mathbb{N}} \) sont définis par la relation suivante :
\[ \fbox{ \( \forall n \in \mathbb{N}, \forall \theta \in \mathbb{R}, T_n(cos \theta) = cos(n \theta)\)} \]
Les polynômes de Tchebychev de seconde espèce \( (U_n)_{n \in \mathbb{N}} \) sont définis par la relation suivante :
\[ \fbox{ \( \forall n \in \mathbb{N}, U_{n}= \frac{1}{n+1}T’_{n+1}\)} \]
Quelques résultats sur les polynômes de Tchebychev
Premier résultat sur les polynômes de Tchebychev de première espèce
\( \forall n \in \mathbb{N}, \space \displaystyle T_n = \displaystyle \sum_{k=0}^{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor} C_{2k}^{n}(x^2-1)^k x^{n-2k} \)
En effet, il suffit de remarquer que : \( cos(n \theta) = Re(e^{in \theta}) \)
\( \begin{align} e^{in \theta} &= e^{{i \theta}^n} \\ &= (cos(\theta ) + isin(\theta ))^n \\ &= \displaystyle \sum_{k=0}^{n} C_{k}^{n}cos^{n-k}(\theta )i^k sin^k(\theta ) \end{align} \)
On identifie les parties réelles :
\( \begin{align} e^{in \theta} &= \displaystyle \sum_{k=0}^{\frac{n}{2}} C_{2k}^{n}cos^{n-2k}(\theta )(-1)^ksin^{2k}(\theta ) \\ &= \displaystyle \sum_{k=0}^{\frac{n}{2}} C_{2k}^{n}cos^{n-2k}(\theta )(-1)^k (1 – cos(\theta)^{2k}) \\ &= \displaystyle \sum_{k=0}^{\frac{n}{2}} C_{2k}^{n}cos^{n-2k}(\theta )(cos^{2k}(\theta ) -1) = T_n(cos \theta) \end{align} \)
Par unicité, on a le résultat souhaité.
Deuxième résultat sur les polynômes de Tchebychev de première espèce
\( \forall n \in \mathbb{N}, T_{n+2}= 2XT_{n+1}-T_n \)
Soit \( n \in \mathbb{N} \).
\( \begin{align} T_{n+2}(cos \theta) + T_n(cos \theta) &= cos( (n+2) \theta) + cos( n \theta) \\ &= 2cos((n+1) \theta)cos( \theta) \\ &= 2cos( \theta) T_{n+1}(cos \theta) \end{align} \)
D’où par unicité : \( T_{n+2}= 2XT_{n+1}-T_n \)
Ce résultat permet aussi de démontrer par récurrence que pour tout entier \( n \), \(T_n \) est de degré \( n \) et son coefficient dominant est \( 2^{n-1} \).
Troisième résultat sur les polynômes de Tchebychev de première espèce
On va montrer que pour tout entier \(n \), \( T_n \) est scindé sur \( \mathbb{R} \), à racines simples appartenant à \( ]-1,1[ \) et nous allons déterminer ces racines.
\( \forall n \in \mathbb{N}^{*}, T_n(cos \theta )= 0 \Leftrightarrow cos(n \theta ) = 0 \Leftrightarrow \frac{(2k+1) \pi}{2n}, k \in \mathbb{Z} \)
\( T_n(cos \theta _k) = 0 \)
Or, \( x \mapsto cos(x) \) est bijective de \( ]0, \pi [ \) sur \( ]-1,1[ \), donc \( T_n \) admet \( n \) racines distinctes dans \( ]-1,1[ \).
Premier résultat sur les polynômes de Tchebychev de seconde espèce
Montrons que : \( \forall n \in \mathbb{N}, \forall \theta \in \mathbb{R}\)\ \(\pi \mathbb{Z}, U_n (cos \theta) = \displaystyle \frac{sin((n+1) \theta)}{sin \theta} \)
Soient \( n \in \mathbb{N}, \theta \in \mathbb{R}\)\ \(\pi \mathbb{Z} \).
En dérivant la relation : \( T_{n+1}(cos \theta) = cos((n+1) \theta) \)
\( -sin( \theta) T’_{n+1}(cos \theta) = -(n+1)sin((n+1) \theta) \)
D’où : \( U_n(cos \theta) = \frac{1}{n+1} T’_{n+1}(cos \theta)= \frac{sin((n+1) \theta)}{sin \theta} \)
Deuxième résultat sur les polynômes de Tchebychev de seconde espèce
Avec la même méthode que pour les polynômes de Tchebychev de première espèce, on montre que :
\( \forall n \in \mathbb{N}, U_{n+2}= 2XU_{n+1}-U_n \)
Pour tout entier \(n \), \( T_n \) est scindé sur \( \mathbb{R} \), à racines simples appartenant à \( ]-1,1[ \) de la forme \( cos( \frac{k \pi}{n+1}) \) où \( k \in \) {\(1, …, n \)}.
Où trouver ces polynômes ?
Tu auras peu de mal à croiser les polynômes de Tchebychev durant tes deux ans de prépa… Voici quand même quelques liens qui te permettront de t’entraîner :
- EML, 2005, problème 1
- oraux ESCP, 2016, exercice 2.01
- Centrale, 2014, MP maths 2
Conclusion
Cet article de Major-prépa portant sur les polynômes de Tchebychev de première et seconde espèce touche à sa fin. J’espère qu’il t’aura été utile. Tu trouveras d’autres articles de maths ici !
